WnioskowanieStatystyczne/Bonferroni: Różnice pomiędzy wersjami
| Linia 42: | Linia 42: | ||
gwarantuje, że jeśli każdy z ''m'' testów wykonamy na poziomie istotności <math>\frac{\alpha}{m}</math>, to <math>\mathrm{FWER}=\alpha</math>. | gwarantuje, że jeśli każdy z ''m'' testów wykonamy na poziomie istotności <math>\frac{\alpha}{m}</math>, to <math>\mathrm{FWER}=\alpha</math>. | ||
| − | Rozważmy rodzinę ''m'' hipotez H<sub>i</sub> (w powyższym przykładzie ''m'' = 21), przypisując każdej H<sub>i</sub> p-wartość (ang. p-value) p<sub>i</sub>. FWER, czyli prawdopodobieństwo popełnienia przynajmniej jednego błędu I rodzaju którymś z | + | Rozważmy rodzinę ''m'' hipotez ''H<sub>i</sub>'' (w powyższym przykładzie ''m'' = 21), przypisując każdej ''H<sub>i</sub>'' p-wartość (ang. p-value) ''p<sub>i</sub>''. FWER, czyli prawdopodobieństwo popełnienia przynajmniej jednego błędu I rodzaju którymś z ''m'' testów hipotez ''H<sub>i</sub>'', będzie nie większy niż suma prawdopodobieństw popełnienia błędu I rodzaju |
<math> P\left(p_i\leq\frac \alpha m\right)</math> | <math> P\left(p_i\leq\frac \alpha m\right)</math> | ||
w każdym testów z osobna. I to niezależnie od tego, czy testy są niezależne czy nie. Czyli | w każdym testów z osobna. I to niezależnie od tego, czy testy są niezależne czy nie. Czyli | ||
| Linia 49: | Linia 49: | ||
\leq m \frac{\alpha}{m} = \alpha.</math> | \leq m \frac{\alpha}{m} = \alpha.</math> | ||
| − | Nierówność jest słuszna również w przypadku, kiedy tylko część z | + | Nierówność jest słuszna również w przypadku, kiedy tylko część z ''m'' hipotez jest prawdziwa --- FWER jest wtedy jeszcze mniejszy. Jak widać jest to poprawka bardzo konserwatywna, wymuszająca przeprowadzanie testów na potencjalnie zaniżonych poziomach istotności <math>\frac{\alpha}{m}</math>. |
===Poprawka Bonferroniego-Holma=== | ===Poprawka Bonferroniego-Holma=== | ||
Wersja z 18:38, 4 maj 2017
Spis treści
Błędy I i II rodzaju
Przyjęcie poziomu istotności ([math]\alpha[/math]) na poziomie 5 procent oznacza, że średnio w jednym na dwadzieścia przypadków możemy odrzucić prawdziwą hipotezę, czyli popełnić błąd I rodzaju (false positive).
Dla kompletności przypomnijmy, że błąd II rodzaju polega na przyjęciu hipotezy fałszywej (false negative) i jest związany z poziomem istotności testu.
Pojęcia błędów I i II rodzaju, podobnie jak hipotezy zerowej (H0) wprowadzili do statystyki Jerzy Spława-Neyman i Egon Pearson w latach 30. XX wieku.
| hipoteza H0 | |||
| Prawdziwa | Fałszywa | ||
|---|---|---|---|
| decyzja | Odrzuć | błąd typu I (False Positive) | poprawna (True Positive) |
| Przyjmij | poprawna (True Negative) | błąd typu II (False Negative) | |
Wielokrotne porównania
Problem wielokrotnych porównań (ang. multiple comparisons) pojawia się w eksploracyjnej (w odróżnieniu od konfirmacyjnej) analizie danych, por. np. http://en.wikipedia.org/wiki/Data_dredging zwane też p-hacking.
Przykład
[math]N[/math] obserwacji podzielonych na 7 grup. Testujemy hipotezę o różnicy między średnimi dowolnych 2 grup, wykonując wykonać [math]\binom{7}{2}=21[/math] testów różnic między grupami. Jeśli przyjmiemy poziom istotności [math]\alpha=0.05[/math], mamy dużą szansę na dokonanie fałszywego odkrycia. Jak dużą?
FWER: family-wise error rate
Poziom istotności zdefiniowany dla pojedynczych testów zastępujemy pojęciem FWER, czyli prawdopodobieństwem popełnienia przynajmniej jednego błędu I rodzaju w grupie (rodzinie) testów.
Poprawka Bonferroniego
gwarantuje, że jeśli każdy z m testów wykonamy na poziomie istotności [math]\frac{\alpha}{m}[/math], to [math]\mathrm{FWER}=\alpha[/math].
Rozważmy rodzinę m hipotez Hi (w powyższym przykładzie m = 21), przypisując każdej Hi p-wartość (ang. p-value) pi. FWER, czyli prawdopodobieństwo popełnienia przynajmniej jednego błędu I rodzaju którymś z m testów hipotez Hi, będzie nie większy niż suma prawdopodobieństw popełnienia błędu I rodzaju [math] P\left(p_i\leq\frac \alpha m\right)[/math] w każdym testów z osobna. I to niezależnie od tego, czy testy są niezależne czy nie. Czyli
[math] \text{FWER} \leq\sum_{i=1}^{m}\left\{P\left(p_i\leq\frac \alpha m\right)\right\} \leq m \frac{\alpha}{m} = \alpha.[/math]
Nierówność jest słuszna również w przypadku, kiedy tylko część z m hipotez jest prawdziwa --- FWER jest wtedy jeszcze mniejszy. Jak widać jest to poprawka bardzo konserwatywna, wymuszająca przeprowadzanie testów na potencjalnie zaniżonych poziomach istotności [math]\frac{\alpha}{m}[/math].
Poprawka Bonferroniego-Holma
P-wartości pi sortujemy w kolejności od najmniejszej do największej
Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement
JCGM 100:2008 GUM 1995 with minor corrections http://www.iso.org/sites/JCGM/GUM-JCGM100.htm
3.4.8 Although this Guide provides a framework for assessing uncertainty, it cannot substitute for critical thinking, intellectual honesty and professional skill. The evaluation of uncertainty is neither a routine task nor a purely mathematical one; it depends on detailed knowledge of the nature of the measurand and of the measurement. The quality and utility of the uncertainty quoted for the result of a measurement therefore ultimately depend on the understanding, critical analysis, and integrity of those who contribute to the assignment of its value.
