WnioskowanieStatystyczne/Interpretacja współczynnika korelacji
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Interpretacja współczynnika korelacji
Rozważmy wariancję zmiennej [math]y[/math] z poprzedniego rozdziału. Niech [math]y_{i}^{p}=a+bx_{i}[/math]
[math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}= \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p}+y_{i}^{p}-\overline{y} )^{2}= [/math] [math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p})^{2}+\underset{i=1}{ \overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2}+2\underset{i=1}{\overset{N}{ \sum }}(y_{i}-y_{i}^{p})(y_{i}^{p}-\overline{y}) [/math]
Całkowitą wariancję zmiennej [math]y[/math] można podzielić na dwa człony: wariancję estymaty [math]y_{i}^{p}[/math] wokół wartości średniej [math]\overline{y}[/math] i wariancję obserwowanych [math]y_{i}[/math] wokół estymaty [math]y_{i}^{p}[/math] (trzeci człon znika):
[math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}= \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p})^{2}+\underset{i=1}{ \overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} [/math]
Współczynnik korelacji liniowej (Pearsona)
Rozwżmy wariancję tłumaczoną przez model
- [math]\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} [/math],
Ponieważ [math]\forall_i (y_i - \overline{y}) = b (x_i - \overline{x} )[/math],
- [math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} = b \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2} [/math]
przypominamy wyprowadzone w poprzednim rozdziale zależności:
[math]
b=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-
\overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}},
\qquad a=\overline{y}-b\overline{x}
[/math]
oraz wzór na estymator współczynnika korelacji liniowej
[math]
r_{x, y}= \frac{\sigma_{x, y}}{\sigma_x \sigma_y}=
\frac{E\left( \left(x-\mu_{x})(y-\mu_{y}\right)\right)}
{\sqrt{E\left( (x-\mu_{x})^2\right) E\left( (y-\mu_{y})^2\right)}},
[/math]
jego kwadrat estymujemy jako
[math]
r^{2}=\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-
\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\right) ^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{
\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-
\overline{y})^{2}}
[/math]
Podstawiając
[math]
\forall_i (y_i - \overline{y}) =
b (x_i - \overline{x} )
[/math], oraz
[math]
b=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-
\overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}}
[/math]
do wyrażenia na wariancję tłumaczoną przez model
- [math]\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} [/math],
dostajemy:
- [math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} = b \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2} =\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y} )\right) ^{2}}{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x} )^{2}\right) ^{2}}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x} )^{2}=\\ =\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x} )(y_{i}-\overline{y})\right) ^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}- \overline{x})^{2}}\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y} )^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}}=r^{2} \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2} [/math]
czyli
- [math] {r^{2}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}- \overline{y})^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2} }\ } [/math]
Ciekawe przykłady korelacji liniowych dla zależności nieliniowych podaje artykuł z Wikipedii
Istotność statystyczna współczynnika korelacji
...to osobny problem :-)
