WnioskowanieStatystyczne/Interpretacja współczynnika korelacji

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład

Interpretacja współczynnika korelacji

Rozważmy wariancję zmiennej [math]y[/math] z poprzedniego rozdziału. Niech [math]y_{i}^{p}=a+bx_{i}[/math]

[math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}= \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p}+y_{i}^{p}-\overline{y} )^{2}= [/math] [math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p})^{2}+\underset{i=1}{ \overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2}+2\underset{i=1}{\overset{N}{ \sum }}(y_{i}-y_{i}^{p})(y_{i}^{p}-\overline{y}) [/math]

Całkowitą wariancję zmiennej [math]y[/math] można podzielić na dwa człony: wariancję estymaty [math]y_{i}^{p}[/math] wokół wartości średniej [math]\overline{y}[/math] i wariancję obserwowanych [math]y_{i}[/math] wokół estymaty [math]y_{i}^{p}[/math] (trzeci człon znika):

[math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}= \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p})^{2}+\underset{i=1}{ \overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} [/math]

Współczynnik korelacji liniowej (Pearsona)

Rozważmy stosunek wariancji tłumaczonej przez model do całkowitej wariancji

[math] S^2 = \dfrac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2}} {\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_i-\overline{y})^{2}} [/math]

podstawiając [math]y_i^p = a + b x_i[/math] dostajemy

[math] S^2 = \dfrac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(a + b x_i-\overline{y})^{2}} {\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_i-\overline{y})^{2}} [/math]

Ponieważ [math]\overline{y} = a + b \overline{x}[/math], czyli [math]a=\overline{y}-b\overline{x}[/math],

[math] S^2 = \dfrac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(\overline{y}-b\overline{x} + b x_i-\overline{y})^{2}} {\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_i-\overline{y})^{2}} = \dfrac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}b^2(x_i-\overline{x})^2} {\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_i-\overline{y})^{2}} = b^2\dfrac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_i-\overline{x})^2} {\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_i-\overline{y})^{2}} [/math]

Skoro prosta [math]y= a + b x[/math] została dopasowana metodą największej wiarygodności, to [math] b=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}- \overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}} [/math], czyli

[math] S^2 = b^2 \,\,\, \dfrac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_i-\overline{x})^2} {\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_i-\overline{y})^{2}} = \dfrac {\left(\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}- \overline{y})\right)^2} {\left(\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}\right)^2} \;\;\; \dfrac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_i-\overline{x})^2} {\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_i-\overline{y})^{2}} [/math]

[math] S^2 = \dfrac {\left(\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}- \overline{y})\right)^2} {{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}} \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_i-\overline{y})^{2}} =\rho_{x,y}^2 [/math], czyli współczynnik korelacji.

Przykładowe wartości współczynnika korelacji dla 300 par [math](x, y)[/math] o różnych stopniach współzależności.

Ciekawe przykłady korelacji liniowych dla zależności nieliniowych podaje artykuł z Wikipedii

Istotność statystyczna współczynnika korelacji

...to osobny problem :-)