Matematyka:Matematyka II NI/Całka nieoznaczona

Całki niewłaściwe

Całki w granicach nieskończonych

Wiemy, co to jest [math]\int _a^b f(x) {\sf d}x[/math] w przypadku skończonego przedziału [math][a,b][/math] i funkcji ograniczonej [math]f(x)[/math]. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział nieskończony iłub [math]f[/math] nieograniczona). Tutaj będziemy się zajmować tylko funkcjami ograniczonymi na przedziałach nieskończonych.

Niech funkcja [math]f[/math] będzie określona w przedziale [math][a, \infty [[/math] (tzn. dla dowolnego [math]x\ge a[/math]) i całkowalna na każdym skończonym przedziale [math][a,A][/math] (zakładamy, że [math]A\gt a[/math]). Dla dowolnego [math]A[/math] jest więc dobrze określona całka [math]\int _a^A f(x) {\sf d}x[/math].

Całka niewłaściwa

Całką niewłaściwą z funkcji [math]f[/math] po przedziale [math][a,\infty [[/math] nazywamy granicę

[math]{\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} } \int _a^A f(x){\sf d}x;\;\;\;[/math] oznaczamy ją [math]\;\; \int _a^\infty f(x) {\sf d}x. [/math]

W przypadku gdy granica (%i 1) jest skończona, mówimy że całka niewłaściwa jest zbieżna, a funkcja [math]f[/math] jest całkowalna. Jeśli granica (%i 1) jest rozbieżna do [math]\infty [/math] lub nie istnieje, mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

Przykł.

1. Funkcja [math]f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/math] jest całkowalna w dowolnym przedziale skończonym [math][0,A][/math] ([math]A\gt 0[/math]) i mamy:

   [math] \int _0^A \frac{1}{1+x^2} {\sf d}x = {\rm arctg\,} x|_0^A = {\rm arctg\,} (A). [/math]

   Granica [math]{\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} }\; {\rm arctg\,} (A)[/math] istnieje i jest równa [math]\frac{\pi }{2}[/math], zatem

   [math] \int _0^\infty \frac{1}{1+x^2} {\sf d}x = \frac{\pi }{2}. [/math]

2. Zapytajmy, dla jakich wartości wykładnika [math]\alpha [/math] istnieje całka niewłaściwa
   [math]\int _a^\infty \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x\;\;\;(\mathrm{tu}\;\;\;a\gt 0). [/math]

   Niech [math]\alpha \ne 1[/math]. Wówczas

   [math] \int _a^A \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x = \frac{1}{1-\alpha } x^{1-\alpha }\left.\right|^A_a = \frac{1}{1-\alpha } (A^{1-\alpha }-a^{1-\alpha }). [/math]

   Dla [math]A\rightarrow \infty [/math], prawa strona ma granicę [math]\infty [/math], gdy [math]1-\alpha \gt 0[/math], tzn. [math]\alpha \lt 1[/math], bąd/x [math]\frac{\alpha -1}{a^{1-\alpha }}[/math], gdy [math]\alpha \gt 1[/math]. W przypadku pośrednim, tzn. gdy [math]\alpha =1[/math], mamy

   [math] \int _a^A \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x = \ln x |^A_a =\ln A - \ln a [/math]

   [math]\lim_{A\rightarrow \infty} \int _a^A \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x\longrightarrow \infty[/math]

   zatem w tym przypadku całka jest rozbieżna.

   Ostatecznie otrzymujemy, że całka niewłaściwa (%i 2) jest rozbieżna, gdy [math]\alpha \le 1[/math], i zbieżna, gdy [math]\alpha \gt 1[/math]; w tym przypadku jej wartość wynosi [math]\frac{\alpha -1}{a^{1-\alpha }}[/math].

   
   

3. 2. prędkość kosmiczna

Całka z funkcji [math]f[/math] w przedziale [math]]-\infty ,a][/math]

Analogicznie jak w (%i 1) definiujemy także całkę z funkcji [math]f[/math] w przedziale [math]]-\infty ,a][/math]:

[math]\int _{-\infty }^a f(x) {\sf d}x = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A^{\prime }}\rightarrow {-\infty }} } \int _{A^{\prime }}^a f(x){\sf d}x \;\;\;(\mathrm{tu}\;\;A^{\prime }\lt a), [/math]

Całka po prostej rzeczywistej

oraz całkę po całej prostej rzeczywistej:

[math]\int _{-\infty }^{+\infty } f(x) {\sf d}x = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A^{\prime }}\rightarrow {-\infty }} } {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} } \int _{A^{\prime }}^A f(x){\sf d}x. [/math]

Związek z podstawowym wzorem rachunku różniczkowego i całkowego

Załóżmy teraz, że całkowana funkcja [math]f[/math] posiada funkcję pierwotną [math]F[/math] w całym przedziale [math][a,\infty [[/math] (pamiętamy, że będzie tak np. wtedy, gdy [math]f[/math] jest ciągła). Wtedy na podstawie podstawowego tw. rach. różniczkowego i całkowego mamy

[math] \int _a^A f(x){\sf d}x = F(A)-F(a) = F(x)|^A_a. [/math]

Porównując to z wz. (%i 1) widzimy, że całka niewłaściwa (%i 1) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica

[math] {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} } F(A). [/math]

Granicę powyższą oznaczamy często [math] F(\infty )[/math].Możemy wtedy zapisać

[math] \int _a^\infty f(x) {\sf d}x = F(\infty )-F(a) = F(x)|_a^\infty . [/math]

Mamy też analogicznie

[math] \int _{-\infty }^a = F(x)|^a_{-\infty }, \;\;\;\int _{-\infty }^{+\infty } f(x) {\sf d}x = F(x)|^{+\infty }_{-\infty }. [/math]

Przykł.

1. [math]\int _0^\infty e^{-ax} {\sf d}x, \;\; a\gt 0[/math]. Mamy: [math]F(x)=-\frac{1}{a} e^{-ax}[/math], skąd [math]F(\infty ) = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {-\infty }} } e^{-aA}=0[/math], tak więc

   [math] \int _0^\infty e^{-ax} {\sf d}x = F(x)|^\infty _0 = \frac{1}{a}. [/math]

2. [math]\int _0^\infty \sin x {\sf d}x[/math]. Funkcją pierwotną jest tu [math]-\cos x[/math],ale symbol [math]\cos x|^\infty _0[/math] jest bez sensu, bo nie istnieje granica [math]{\displaystyle \mathop {\lim }_{{x}\rightarrow {\infty }} } \cos x[/math].
3. [math]\int _{\nicefrac{2}{\pi} }^\infty \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x} = \cos \frac{1}{x} \left.\right|^\infty _{\nicefrac{2}{\pi} } = 1.[/math]

Całki niewłaściwe a szeregi

Pomiędzy całkami niewłaściwymi a szeregami istnieje szereg podobieństw, które teraz wyliczymy; wiele twierdzeń o całkach niewłaściwych jest prostym przeniesieniem analogonów z teorii szeregów.

SZEREGI	CAłKI
Wyraz ogólny szeregu [math]a_n[/math]	Funkcja podcałkowa [math]f(x)[/math]
Suma częściowa szeregu [math]\sum _{n=1}^N a_n[/math]	Całka właściwa [math]\int _a^A f(x){\sf d}x[/math]
Suma szeregu [math]\sum _{n=1}^\infty a_n[/math]	Całka niewłaściwa [math]\int _a^\infty f(x){\sf d}x[/math]
jako granica sumy częściowej dla [math]N\rightarrow \infty [/math]	jako granica całki właściwej dla [math]A\rightarrow \infty [/math]
reszta szeregu [math]\sum _{n=N+1}^\infty a_n[/math]	Całka niewłaściwa [math]\int _A^\infty f(x){\sf d}x[/math]

Poniższych twierdzeń dowodzi się albo przez niewielką modyfikację twierdzeń dla szeregów, albo przez proste rozszerzenie twierdzeń o całkach właściwych.

1. Jeśli całka [math]\int _a^\infty f(x) {\sf d}x[/math] jest zbieżna, to zbieżna jest też całka [math]\int _A^\infty f(x) {\sf d}x[/math] i na odwrót. Ponadto

   [math] \int _a^\infty f(x) {\sf d}x = \int _a^A f(x) {\sf d}x + \int _A^\infty f(x) {\sf d}x. [/math]

2. Gdy całka [math]\int _A^\infty f(x) {\sf d}x[/math] jest zbieżna, to zachodzi

   [math] {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} }\int _A^\infty f(x) {\sf d}x=0. [/math]

3. Jeśli zbieżna jest całka [math]\int _a^\infty f(x) {\sf d}x[/math], to zbieżna jest też całka [math]\int _a^\infty c\cdot f(x) {\sf d}x[/math] ([math]c=[/math] const.) i zachodzi

   [math] \int _a^\infty c\cdot f(x) {\sf d}x = c \int _a^\infty f(x) {\sf d}x [/math]

4. Jeśli zbieżne są całki [math]\int _a^\infty f(x) {\sf d}x[/math] i [math]\int _a^\infty g(x) {\sf d}x[/math], to zbieżna jest też całka [math]\int _a^\infty (f\pm g)(x) {\sf d}x[/math] i zachodzi

   [math] \int _a^\infty (f\pm g)(x) {\sf d}x =\int _a^\infty f(x) {\sf d}x \pm \int _a^\infty f(x) {\sf d}x. [/math]

Zbieżność całki w przypadku funkcji nieujemnej

Jeśli funkcja [math]f(x)[/math] jest nieujemna, to całka

[math]F(A)=\int _a^A f(x){\sf d}x [/math]

jest funkcją niemalejącą zmiennej [math]A[/math]. Jeśli ponadto funkcja [math]F(A)[/math] jest ograniczona, tzn. [math]\exists _C \forall _x[/math]: [math]F(x)\le C[/math], to [math]F(X)[/math] posiada granicę, gdy [math]A\rightarrow \infty [/math], a to znaczy, że całka (%i 5) jest zbieżna. W oczywisty sposób, warunek ten jest też warunkiem koniecznym zbieżności; gdy nie jest on spełniony, to całka (%i 5) jest rozbieżna.

Wykorzystując powyższy fakt, dowodzi się, że ma miejsce następujące

Twierdzenie

Jeśli dla wszystkich [math]x\in [a,\infty [[/math] zachodzi nierówność: [math]f(x)\le g(x)[/math], to ze zbieżności całki [math]\int _a^\infty g(x) {\sf d}x[/math] wynika zbieżność całki [math]\int _a^\infty f(x) {\sf d}x[/math]; i na odwrót: z rozbieżności całki [math]\int _a^\infty g(x) {\sf d}x[/math] wynika rozbieżność całki [math]\int _a^\infty f(x) {\sf d}x[/math].

Dowód

jest analogiczny jak w przypadku tw. porównawczego dla szeregów — należy tylko wszędzie zamienić "sumę" na "całkę".

CBDO

Kryterium to jest ógólnikowe: Skuteczność w jego stosowaniu zależy od tego, czy uda się w danym problemie znaleźć dostatecznie dobry, a jednocześnie wyliczalny 'ogranicznik', pozwalający oszacować badaną funkcję całkowaną od góry lub od dołu. Wybierając konkretne funkcje do porównań, możemy otrzymać bardziej szczegółowe kryteria zbieżności/rozbieżności całek. Często do porównań bierze się funkcję [math]\frac{1}{x^\alpha }[/math] (jak pamiętamy, całka z tej funkcji jest zbieżna dla [math]\alpha \gt 1[/math] i rozbieżna dla [math]\alpha \le 1[/math]). Z porównania z funkcją [math]\frac{1}{x^\alpha }[/math], otrzymuje się następujące kryteria Cauchy'ego:

Twierdzenie (kryteria Cauchy'ego)

Niech funkcja [math]f(x)[/math] ma dla dostatecznie dużych [math]x[/math] postać

[math] f(x)=\frac{\phi (x)}{x^\alpha },\;\;\;\alpha \gt 0. [/math]

Wtedy:

1. Jeśli [math]\alpha \gt 1[/math] i [math]\phi (x)[/math] jest ograniczona, tzn. [math]\exists _{C \lt \infty } \forall _x[/math]: [math]F(x)\le C[/math], to całka [math]\int _a^\infty f(x) {\sf d}x [/math] jest zbieżna;
2. jeśli [math]\alpha \le 1[/math] i [math]\phi (x)\ge c\gt 0[/math], to całka jest rozbieżna.

Dowód

1. Tu bierzemy do porównania funkcję [math]g(x)=\frac{C}{x^\alpha }[/math]; mamy: [math]f(x)\le g(x)[/math] i wiemy, że [math]g(x)[/math] jest całkowalna dla [math]\alpha \gt 1[/math], co dowodzi zbieżności całki [math]\int _a^\infty f(x) {\sf d}x [/math].
2. Tu bierzemy do porównania [math]g(x)=\frac{c}{x^\alpha }[/math]. Zachodzi: [math]f(x)\ge g(x)[/math], całka z [math]g(x)[/math] jest rozbieżna, więc też rozbieżna jest całka [math]\int _a^\infty f(x) {\sf d}x [/math].

CBDO

Przykłady

1. Zbadajmy zbieżność całki

   [math] \int _0^\infty \frac{x^\frac{3}{2}}{1+x^2} {\sf d}x [/math]

   Zamiast całki [math]\int _0^\infty [/math] zbadajmy całkę [math]\int _1^\infty [/math]; taka zmiana przedziału nie ma wpływu na zbieżność. Mamy:

   [math] \frac{x^\frac{3}{2}}{1+x^2} = \frac{(x^2)^\frac{3}{4}}{1+x^2} \ge \frac{(1+x^2)^\frac{3}{4}}{1+x^2} = \frac{1}{(1+x^2)^\frac{1}{4}}[/math] jeżeli [math]x\ge 1[/math] całość [math]{\ge } \frac{1}{(x^2+x^2)^\frac{1}{4}}=\frac{1}{2^\frac{1}{4}\sqrt{x}}, [/math]

   a [math]\int _1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} {\sf d}x[/math] jest rozbieżna, więc rozbieżna jest też całka wyjściowa.
2. Zbadajmy zbieżność całki

   [math] \int _1^\infty \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}} {\sf d}x [/math]

   Tu oszacujmy w drugą stronę:

   [math] \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}} \le \frac{1}{x^3}, [/math]

   i ponieważ [math]\int _1^\infty \frac{1}{x^3}{\sf d}x[/math] jest zbieżna, to zbieżna jest też całka wyjściwa.

Zbieżność bezwzględna

Wróćmy do badania zbieżności całek w przypadku ogólnym (tzn. niekoniecznie dla nieujemnych funkcji podcałkowych). Jak pamiętamy, zagadnienie zbieżności całki niewłaściwej [math]\int _a^\infty f(x){\sf d}x[/math] sprowadza się do rozstrzygnięcia, czy istnieje skończona granica funkcji [math]\Phi (A)[/math] dla [math]A\rightarrow \infty [/math], gdzie

[math]\Phi (A)=\int _a^A f(x){\sf d}x [/math]

Przypomnijmy sobie najsampierw warunek Cauchy'ego zbieżności szeregu [math]{a}_1 + {a}_2 +\dots [/math]. Oznaczmy przez [math]\lbrace {s}_n \rbrace [/math] ciąg jego sum częściowych. Warunek B-C mówi zbieżności szeregu mówi, iż

[math] \forall _{\epsilon \gt 0} \exists _{k\in { \mathbb N}} \forall _{m,m^{\prime }\in { \mathbb N}}: |s_{m}-s_{m^{\prime }}| \lt \epsilon , [/math]

Warunek ten ma swój bezpośredni odpowiednik w postaci warunku istnienia całek niewłaściwych. Można go sformułować następująco:

Twierdzenie

Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności całi [math]\int _a^\infty f(x){\sf d}x[/math] jest, aby

[math] \forall _{\epsilon \gt 0} \exists _{A_0\gt a} \forall _{A,A^{\prime }\gt A_0}: |\Phi (A^{\prime })-\Phi (A)|=|\int _A^{A^{\prime }} f(x) {\sf d}x| \lt \epsilon , [/math]

gdzie [math]\Phi (A)[/math] jest dane przez (%i 6).

CBDO

Korzystając z powyższego warunku, łatwo udowodnimy twierdzenie (mające analog dla szeregów: Jeśli szereg jest bezwzględnie zbieżny to jest zbieżny):

Twierdzenie

Jeżeli całka [math]\int _a^\infty |f(x)| {\sf d}x[/math] jest zbieżna, to jest zbieżna też całka [math]\int _a^\infty f(x) {\sf d}x[/math].

Uwaga

W takim przypadku mówimy, że całka [math]\int _a^\infty f(x) {\sf d}x[/math] jest bezwzględnie zbieżna. (Znów analogia z szeregami!)

Dowód

Stosując powyższe kryterium do całki [math]\int _a^\infty |f(x)| {\sf d}x[/math] (o której zakładamy, że jest zbieżna) mamy: Dla dowolnego [math]\epsilon \gt 0[/math] istnieje takie [math]A_0\gt a[/math], że dla [math]A^{\prime }\gt A\gt A_0[/math] zachodzi

[math] \int _A^{A^{\prime }} |f(x)|{\sf d}x \lt \epsilon ; [/math]

ale mamy też:

[math] \left|\int _A^{A^{\prime }} f(x){\sf d}x\right| \lt \int _A^{A^{\prime }} |f(x)|{\sf d}x \;\;\;[/math] co znaczy, że [math] \;\;\; \left|\int _A^{A^{\prime }} f(x){\sf d}x\right| \lt \epsilon [/math]

a to oznacza, że zbieżna jest całka [math]\int _a^\infty f(x){\sf d}x[/math].

CBDO

Twierdzenie

Jeśli całka [math]\int _a^\infty f(x){\sf d}x[/math] jest zbieżna bezwzględnie, a funkcja [math]g(x)[/math] jest ograniczona (tzn. dla dowolnego [math]x[/math]: [math]|g(x)\le C[/math]), to całka [math]\int _a^\infty f(x) \cdot g(x) {\sf d}x[/math] też jest bezwzględnie zbieżna.

Dowód

Wystarczy oszacować:

[math] \left| f(x)\cdot g(x)\right|\le C \cdot |f(x)| [/math]

i skorzystać z kryterium porównawczego. CBDO

Przykł.

Rozważmy całkę:

[math] \int _0^\infty \frac{\cos a x}{k^2 + x^2}{\sf d}x, \;\;\;k\ne 0. [/math]

Funkcja [math]\frac{1}{k^2 + x^2}[/math] jest całkowalna (całka z tej funkcji jest oczywiście bezwzględnie zbieżna), zaś funkcja [math]\cos a x[/math] jest ograniczona; zatem powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna.

---