FizykaII OO/Klasyczna teoria dyspersji
Pokazy
- Dielektryk w jednorodnym polu elektrycznym: elektroskop, płyta dielektryczna, maszyna elektrostatyczna.
- Rozszczepienie światła białego w pryzmacie.
- Bieg światła monochromatycznego ( laserowego) w pryzmacie.
Dielektryk w polu elektrycznym kondensatora płaskiego
[math]E_0[/math] — pole bez dielektryka
[math]E[/math] — pole z dielektrykiem
[math]\varepsilon[/math] — stała dielektryczna (względna przenikalość elektryczna)
[math]\varepsilon E= E_0[/math]
[math] E_0= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}[/math]
[math]\sigma[/math] — gęstość powierzchniowa ładunków swobodnych na okładkach kondensatora
[math]\sigma_d[/math] — gęstość powierzchniowa ładunku indukowanego w dielektryku
[math]\sigma_{eff}[/math] — gęstość powierzchniowa efektywna, która daje pole wypadkowe E
[math] E = \frac{\sigma_{eff}}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma-\sigma_d}{\varepsilon_0} = E_0-\frac{\sigma_d}{\varepsilon_0}[/math]
[math]E_0 = E+\frac{\sigma_d}{\varepsilon_0} = E_1+\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0E}[/math]
Gęstość powierzchniowa ładunku indukowanego jest proporcjonalna do natężenia pola, zatem wielkość w nawiasie jest stała i równa stałej dielektrycznej [math]\varepsilon[/math]
[math]\frac{\sigma}{E\varepsilon_0}=\chi[/math] — podatność dielektryczna
[math]\varepsilon = 1+\chi[/math]
P — wektor polaryzacji związany z ładunkiem indukowanym, równy co do wartości [math]\sigma_d[/math].
[math]E=E_0-\frac{P}{\varepsilon_0}[/math]
Interpretacja drobinowa
Pole elektryczne powoduje przesunięcie chmury elektronowej i cząsteczka (atom) staje się dipolem elektrycznym. Elektryczny moment dipolowy
[math] p_e = qx[/math],
x — odległość rozsunięcia ładunków
[math] N p_e = P[/math] — wartość wektora polaryzacji
N — liczba atomów w jednostce objętości
Klasyczna teoria dyspersji
Współczynnik załamania zgodnie z teoria Maxwella wynosi
[math] n = \sqrt{\mu\varepsilon}[/math],
[math]\varepsilon[/math] — stała dielektryczna substancji
[math]\mu[/math] — przenikalność magnetyczna substancji
Przyjmijmy [math]\mu = 1[/math]
Wyniki doświadczenia pokazują, że współczynnik silnie zależy od częstości. Zależność inny ma charakter dla fal długich i krótkich (krzywa dyspersji).
[math] n = A+\frac{B}{\lambda^2}+\frac{C}{\lambda^4}[/math]
[math]\frac{dn}{d\lambda}=-\frac{2b}{\lambda^3}[/math]
Dyspersja zmienia się, jak odwrotność trzeciej potęgi długości fali Mała długość fali [math]\rightarrow[/math] duża zmiana dyspersji.
Dyspersja anomalna
występuje wtedy, gdy w materiale dla określonej częstości mamy absorpcję
ze podręcznika do Fizyki III prof. J.Gintera:
Wyniki doświadczalne dla fluorku sodu:
- w częstości [math]\omega_0=2\pi\nu_0=\unit{4,5\cdot 10^{13}}{Hz}[/math] ( podczerwień) fluorek sodu silnie pochłania promieniowanie.
- Poniżej tej częstości współczynnik załamania rośnie, osiągając wartość większą od 4.
- W częstości [math]\omega_0[/math] następuje skokowy spadek współczynnika załamania. Najmniejsza jego wartość jest równa 0,2. Ze wzrostem wartość n rośnie.
- W obszarze widzialnym przebieg prawie płaski. W nadfiolecie zaczyna się znowu wzrost dla częstości [math]\unit{6\cdot 10^{16}}{Hz}[/math], gdzie znów jest absorpcja.
Wyniki doświadczeń dla par sodu.
W zakresie widzialnym linia absorpcyjna dla 589 nm — żółta linia sodu.
W ciele wykazującym dyspersję atomy modelujemy jako oscylatory
- Drgania jąder w kryształach jonowych lub spolaryzowanych (NaCl)
- Drgania chmur elektronowych (Na)
Model
Chmura elektronowa została wychylona przez pole E i jądro stara się przywrócić stan równowagi. Działa siła proporcjonalna do wychylenia: [math]F_1= -kx[/math] [math]F_2= qE[/math]
W stanie równowagi F=0.
[math]kx_0 = qE[/math]
[math]x_0=\frac{qE}{k}[/math]
[math]x_0 q =\frac{q^2E}{k} = p_e[/math]
N — liczba atomów w jednostce objętości, [math]Np_e= P[/math] — wektor polaryzacji
[math]P=Np_e=\frac{Nq^2}{k}E[/math]
[math]P=\varepsilon_0 \chi E = \frac{Nq^2E}{k}[/math]
[math] \chi = \frac{Nq^2}{k\varepsilon_0}[/math]
[math]\varepsilon = 1+\frac{Nq^2}{k\varepsilon_0}[/math]
Atom w zmiennym polu elektrycznym
[math] E(t) = E_m\cos\omega t[/math]
Równanie ruchu [math]F=am[/math] m masa chmury elektronowej
[math] am = -kx+qE_m\cos\omega t[/math]
[math]a = -\frac{kx}{m} +\frac{qE_m}{m}\cos\omega t [/math] — równanie różniczkowe drugiego rzędu
[math]a = -\frac{d^2x}{dt^2} [/math]
Podstawiamy [math] \omega_0^2 = \frac{k}{m}[/math]
[math]\frac{d^2x}{dt^2}+ \omega_0^2x = \frac{qE_m}{m}\cos\omega t [/math]
Podstawiam rozwiązanie równania w postaci [math] x =A\cos \omega t[/math]
[math] a\omega^2\cos\omega t +\omega_0^2 A \cos\omega t = \frac{q}{m}\cos\omega t [/math]
[math]A= \frac{qE_m}{m\left(\omega^2_0- \omega^2\right)}[/math]
Dyskusja
- Dla [math] \omega\rightarrow 0 \ A_0=\frac{qE_m}{mw_0^2} = \frac{qE_m}{k}[/math] — nie ma fali, sytuacja statyczna.
- Dla [math] \omega\rightarrow \omega_0\ A\rightarrow \infty[/math] — przez dodanie wartości — drgania wybuchają
- [math] \omega\gt \omega_0[/math] — faza wychylenia przeciwna do pola
Przenikalność dielektryczna
[math]P(t) = \frac{q^2E_m N \cos\omega t}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}[/math]
[math]\chi = \frac{q^2E_m }{m\varepsilon_0\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}[/math]
[math]\varepsilon(\omega)=1+\chi = 1+\frac{q^2E_m }{m\varepsilon_0\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}[/math]
[math] n(\omega)=\sqrt{\varepsilon(\omega)}[/math]
Dyskusja stałej dielektrycznej
- [math]\omega\rightarrow 0[/math] — wzór statyczny.
- Dla [math]\omega\gt \omega_0[/math] — [math]\varepsilon(\omega)[/math] mniejsze od 1.
- Dla [math]\omega\lt \omega_0[/math] — [math]\varepsilon(\omega)[/math] osiąga duże wartości.
Bieg światła monochromatycznego w pryzmacie
Rozszczepienia światła białego w pryzmacie
Szkło wykazuje dyspersję. Współczynnik załamania zależy od częstości. W efekcie każda barwa załamuje się pod innym kątem. Rozszczepienie na barwną wstęgę ma miejsce tam, gdzie promień światła białego wchodzi do pryzmatu (na pierwszej ścianie).
