Estymacja widma na podstawie FT
Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów
Dla sygnałów dyskretnych obliczamy Dyskretną Transformatę Fouriera (omawianą szerzej na ćwiczeniach). Kwadrat jej modułu to inaczej periodogram, czyli estymata geśtości widmowej mocy dla sygnałów dyskretnych.
Sygnały z którymi mamy do czynienia w praktyce są nie tylko dyskretne, ale też skończone. Obliczanie transformaty Fouriera dla skończonego odcinka niesie ze sobą dodatkowe komplikacje. Znamy wartości sygnału [math]x[n][/math] dla [math]i=1\ldots N[/math]. Odpowiada to iloczynowi sygnału [math]\left\{s[n]\right\}_{n\in\mathbb{Z}}[/math] z oknem prostokątnym [math]w_p[k][/math]:
[math] w_p[k]=\left\{\begin{array}{rl} 1 & \mathrm{dla} \;k=1 .. N\\ 0 & \mathrm{dla} \;k\lt 0 \vee k\gt N\\ \end{array} \right. [/math]
W efekcie (patrz twierdzenie o splocie) otrzymujemy splot transformaty Fouriera sygnału (nieskończonego) z transformatą Fouriera okna [math]\hat{w}_p[k][/math]. Na przykład dla okna prostokątnego będzie to funkcja postaci [math]sin(x)/x[/math], która może wprowadzić w widmie sztuczne oscylacje, które mylnie możemy zidentyfikować z pikami widma. Dlatego w praktyce stosujemy okna o łagodniejszym przebiegu transformaty Fouriera. Czyli:
- Obliczamy iloczyn sygnału [math]s[n][/math] z wybranym oknem [math]w[n][/math], dopasowanym do jego rozmiaru
- Obliczamy periodogram sygnału [math]s[n] w[n][/math]
Przy założeniu stacjonarności sygnału możemy obliczyć widmo omawianą na ćwiczeniach metodą Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy przez okno [math]w[n][/math] po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu estymaty.
