Falki (wavelets)

Falki (wavelets)

Falka to funkcja [math]\psi \in L^2(\mathbb{R})[/math] o zerowej średniej:

[math] \int_{-\infty}^{\infty}\psi(t) dt = 0 [/math]

Aby spełnić ten warunek, niezerowa funkcja musi oscylować, choć niekoniecznie (wręcz raczej nie) w sposób okresowy, jak "duże" fale [math]e^{ikt}[/math]—stąd nazwa.

Reprezentacja konstruowana jest ze "współczynników falkowych" — iloczynów skalarnych sygnału ze znormalizowanymi ([math]\|\psi\|=1[/math]) funkcjami generowanymi jako przesunięcia i rozciągnięcia falki [math]\psi[/math]:

[math] c_{s,u} = \langle s \psi_{s,u}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \psi (\frac{t-u}{s}) dt [/math]

Transformacja odwrotna istnieje, jeśli zbiór falek [math]\left\{\psi_i\right\}_{i\in I}[/math] tworzy ramę (ang. frame ):

[math] \forall_f \exists_{A\gt 0, B\lt \infty} A\|s\|^2 \le \sum_{i\in I} |\langle\psi_i, s\rangle|^2 \le B\|s\|^2 [/math]

Dopiero w latach 80. XX wieku udowodniono, że ze specjalnie dobranych falek można skonstruować ortogonalną bazę, jeśli kolejne skale [math]s[/math] będą tworzyły sekwencję diadyczną, czyli [math]s_n=2^ns_0[/math]. Doprowadziło to do eksplozji zastosowań czasowo-częstościowych metod analizy sygnałów — nie tylko ze względu na cenione przez fizyków własności baz ortogonalnych, jak zachowanie energii reprezentacji czy prosta formuła rekonstrukcji, ale głównie dzięki powstaniu szybkich algorytmów obliczeniowych.

Podział przestrzeni czas-częstość dla wielorozdzielczej analizy falkowej.