Z Brain-wiki
Skocz do: nawigacja, szukaj

AS/ Falki (wavelets)

Falka to funkcja \psi \in L^2(\mathbb{R}) o zerowej średniej:

\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t) dt = 0

Aby spełnić ten warunek, niezerowa funkcja musi oscylować, choć niekoniecznie (wręcz raczej nie) w sposób okresowy, jak "duże" fale e^{ikt}—stąd nazwa.

Reprezentacja konstruowana jest ze "współczynników falkowych" — iloczynów skalarnych sygnału ze znormalizowanymi (\|\psi\|=1) funkcjami generowanymi jako przesunięcia i rozciągnięcia falki \psi:

 c_{s,u} = \langle s \psi_{s,u}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} s(t)\psi (\frac{t-u}{s}) dt

Transformacja odwrotna istnieje, jeśli zbiór falek \left\{\psi_i\right\}_{i\in I} tworzy ramę (ang. frame ):

 \forall_f \exists_{A>0, B<\infty} A\|s\|^2 \le \sum_{i\in I} |\langle\psi_i, s\rangle|^2 \le B\|s\|^2

Dopiero w latach 80. XX wieku udowodniono, że ze specjalnie dobranych falek można skonstruować ortogonalną bazę, jeśli kolejne skale s będą tworzyły sekwencję diadyczną, czyli s_n=2^ns_0. Doprowadziło to do eksplozji zastosowań czasowo-częstościowych metod analizy sygnałów — nie tylko ze względu na cenione przez fizyków własności baz ortogonalnych, jak zachowanie energii reprezentacji czy prosta formuła rekonstrukcji, ale głównie dzięki powstaniu szybkich algorytmów obliczeniowych.

Podział przestrzeni czas-częstość dla wielorozdzielczej analizy falkowej.