Tekst źródłowy strony Estymacja widma na podstawie FT



=[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Estymacja widma na podstawie Transformaty Fouriera=

==Dyskretna Transformata Fouriera (DFT)==

W praktycznych zastosowaniach mamy do czynienia z sygnałami próbkowanymi o skończonej długości. Transformata Fouriera działająca na takich sygnałach nazywana jest Dyskretną Transformatą Fouriera, a algorytm najczęściej wykorzystywany do jej obliczania to szybka trasnsformata Fouriera (fast Fourier transform FFT). 
Formułę na współczynniki transformaty Fouriera można otrzymać z [[Szereg_Fouriera|szeregu Fouriera]]. Załóżmy, że sygnał który chcemy przetransformować składa się z <math>N</math> próbek.

<math> s =\{ s[0],\dots,s[n],\dots s[N-1]\}</math> 

i próbki pobierane były co <math>T_s</math> sekund. Zakładamy, że analizowany sygnał <math>s</math>  to jeden okres nieskończonego sygnału o  okresie  <math>T=N\cdot T_s</math>. Wprowadźmy oznaczenie: 

<math>s[n]=s(n T_s)</math>. 

Przepiszmy wzór na współczynniki [[Szereg_Fouriera|szeregu Fouriera]]


<math>
c_{k} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i k t}{T} d t 
</math>


Ponieważ sygnał jest teraz dyskretny, całka zamieni się na sumę pól prostokątów o bokach równych wartości funkcji podcałkowej w zadanych punktach <math>x(nT_s)e^{(2i{\pi}knT_s/T)}</math> i odległości między punktami <math>T_s</math>:


<math>
 \hat{s}[k] = \frac{1}{NT_s}\sum_{n=0}^{N-1}s(nT_s)e^{2i\pi\frac{knT_s}{NT_s}} \; T_s = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}s[n]e^{2i{\pi}\frac{kn}{N}}
</math>



==Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów==

Dla sygnałów dyskretnych obliczamy Dyskretną Transformatę Fouriera (omawianą też szerzej na [[Ćwiczenia_2#Dyskretna_Transformata_Fouriera_.28DFT.29|ćwiczeniach]]). Kwadrat jej modułu to inaczej periodogram, czyli estymata gęstości widmowej mocy dla sygnałów dyskretnych. 

Sygnały z którymi mamy do czynienia w praktyce są nie tylko dyskretne, ale też skończone.
Obliczanie transformaty Fouriera dla skończonego odcinka niesie ze
sobą dodatkowe komplikacje.  Znamy wartości sygnału <math>s[n]</math>
dla <math>i=1\ldots N</math>. Odpowiada to iloczynowi sygnału
<math>\left\{s[n]\right\}_{n\in\mathbb{Z}}</math> z oknem prostokątnym
<math>w_p[k]</math>: 

<math> w_p[k]=\left\{\begin{array}{rl}
1 & \mathrm{dla} \;k=1 .. N\\
0 & \mathrm{dla} \;k<0 \vee k>N\\
\end{array}
\right.
</math>

W efekcie [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)|(patrz twierdzenie o splocie)]] otrzymujemy splot transformaty Fouriera
sygnału (nieskończonego) z transformatą Fouriera okna
<math>\hat{w}_p[k]</math>. Na przykład dla okna prostokątnego będzie to funkcja postaci <math>sin(x)/x</math>, która może wprowadzić w widmie sztuczne oscylacje, które mylnie możemy zidentyfikować z pikami widma. Dlatego w praktyce stosujemy okna o
łagodniejszym przebiegu transformaty Fouriera. Czyli:
#Obliczamy iloczyn sygnału <math>s[n]</math> z wybranym oknem <math>w[n]</math>, dopasowanym do jego rozmiaru
#Obliczamy periodogram sygnału <math>s[n] w[n]</math>


W ogólnym przypadku, biorąc pod uwagę normalizację okna 

<math>w[n] = \frac{1}{\sqrt{\sum_{n=0}^{N-1} (w[n])^2}}w[n]</math> 

<!--(w szczególnym przypadku okienka prostokątnego normalizacja ta daje <math>1/N^2</math> występujące we wzorze na moc)-->

dostajemy widmo mocy sygnału okienkowanego:

<math>
P[k] = \frac{1}{\sum_{n=0}^{N-1} (w[n])^2}  \left|\sum_{n=0}^{N-1} s[n]w[n] e^{i\frac{2 \pi }{N} k n}\right|^2 
</math>

Przy założeniu '''stacjonarności i ergodyczności''' sygnału możemy obliczyć widmo [[Nieparametryczne_widmo_mocy#Metoda_Welcha|testowaną na ćwiczeniach]] metodą Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy przez okno <math>w[n]</math> po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu estymaty.