WnioskowanieStatystyczne/MLF: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
Linia 4: Linia 4:
  
 
==Metoda największej wiarygodności==
 
==Metoda największej wiarygodności==
 
 
W procesie estymacji na podstawie próby <math>\mathbf{x}=\{x_{i}\}_{i=1\ldots N}</math>
 
W procesie estymacji na podstawie próby <math>\mathbf{x}=\{x_{i}\}_{i=1\ldots N}</math>
 
wyznaczamy parametr
 
wyznaczamy parametr
Linia 12: Linia 11:
 
możemy z kolei określić ''a posteriori'' prawdopodobieństwo zmiennej losowej <math>x_i</math>:
 
możemy z kolei określić ''a posteriori'' prawdopodobieństwo zmiennej losowej <math>x_i</math>:
 
<math>P(\lambda | x_i)</math>.  
 
<math>P(\lambda | x_i)</math>.  
 
  
 
Logicznym wydaje się postulat, aby parametr(y)
 
Logicznym wydaje się postulat, aby parametr(y)
Linia 32: Linia 30:
 
(L)=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\ln f(x_{i},\lambda)
 
(L)=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\ln f(x_{i},\lambda)
 
</math>
 
</math>
 +
  
 
===Przyklad===
 
===Przyklad===

Wersja z 18:03, 20 kwi 2017

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład


Metoda największej wiarygodności

W procesie estymacji na podstawie próby [math]\mathbf{x}=\{x_{i}\}_{i=1\ldots N}[/math] wyznaczamy parametr [math]\lambda[/math] opisujący domniemany rozkład prawdopodobieństwa. Na podstawie tegoż rozkładu możemy z kolei określić a posteriori prawdopodobieństwo zmiennej losowej [math]x_i[/math]: [math]P(\lambda | x_i)[/math].

Logicznym wydaje się postulat, aby parametr(y) [math]\lambda[/math] dobierać tak, aby zmaksymalizować łączny rozkład prawdopodobieństw a posteriori wszystkich prób [math]x_i[/math], zwany funkcją wiarygodności. Dla zmiennych niezależnych łączny rozkład prawdopodobieństwa będzie iloczynem prawdopodobieństw:

[math] L= P(\mathbf{x} | \lambda) = \underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}f(x_{i},\lambda );\quad [/math]

Maksimum tej funkcji będzie w tym samym punkcie, co maksimum jej logarytmu:

[math] l=\ln (L)=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\ln f(x_{i},\lambda) [/math]


Przyklad

Wyznaczanie stałej fizycznej na podstawie [math]N[/math] różnych eksperymentów (o różnej dokładności). Niech błędy podlegają rozkładowi Gaussa.


Estymowany parametr [math]\lambda[/math] to wartość oczekiwana stałej. Prawdopdobieństwo a posteriori wyniku [math]x_{i}[/math] eksperymentu o danej wariancji [math]\sigma _{i}^{2}[/math]

[math] { f(x^{i},\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{i}}e^{\frac{ -(x^{i}-\lambda )^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}}\ } [/math]

Funkcja wiarygodności

[math] L=\underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}f(x_{i},\lambda )={ \ }\underset{ i=1}{\overset{N}{\prod }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{i}}e^{\frac{ -(x^{i}-\lambda )^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}} [/math]

a jej logarytm

[math] l=-\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{(x_{i}-\lambda )^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}-\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\ln (\sqrt{2\pi }\sigma _{j}) [/math]

Maksimum przewidujemy zwykle w zerze pochodnej

[math] \frac{\delta l}{\delta \lambda }=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} \frac{x_{i}-\lambda }{\sigma _{i}^{2}}=0\Rightarrow \underset{i=1}{\overset{N }{\sum }}\frac{x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}=\lambda \underset{i=1}{\overset{N}{ \sum }}\frac{1}{\sigma _{i}^{2}}\Rightarrow \lambda _{NW}=\frac{\underset{i=1 }{\overset{N}{\sum }}\frac{x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}}{\underset{i=1}{\overset{N }{\sum }}\frac{1}{\sigma _{i}^{2}}} [/math]