|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| | | | |
| − | ==Rozkład równomierny==
| |
| − |
| |
| − | ... zwany też jednostajnym, prostokątnym lub płaskim, przyjmuje jednakowe wartości dla wszystkich liczb z jakiegoś odcinka (na przykład między zero a jeden), a poza tym odcinkiem ma wartość zero:
| |
| − |
| |
| − | <math>\begin{matrix}
| |
| − | p(x) = 1 & \textrm{ dla } & 0\leq x\leq 1
| |
| − | \\
| |
| − | p(x) = 0 & \textrm{ dla } & x>1\ \textrm{ lub }\ x<0.
| |
| − | \end{matrix}</math>
| |
| − |
| |
| − | [[Plik:Rozklad_plaski.png|300px|thumb|left|<figure id="fig:rozw2"></figure>Rozkład równomierny określony na odcinku od zera do jedynki.
| |
| − | ]]
| |
| − |
| |
| − | Wartość oczekiwana
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \mu =E(x)=\int\limits_0^1 x dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Wariancja
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \sigma ^{2}=E((x-\mu )^{2})= \int\limits_0^1 \left(x-\frac 1 2 \right)^2 dx =
| |
| − | \int\limits_0^1\left(x^2 - x +\frac 14\right) dx = \left[\frac{x^3}3 - \frac{x^2}2 +\frac x 4
| |
| − | \right]^1_0 = \frac 1 {12}.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Oczywiście rozkład jednostajny może być określony na dowolnym odcinku <math>(a, b)</math> — wystarczy przeskalować opisaną powyżej kanoniczną postać:
| |
| − |
| |
| − | <math>\begin{matrix}
| |
| − | p(x) = \frac{1}{b-a} & \textrm{ dla } & a\leq x\leq b
| |
| − | \\
| |
| − | p(x) = 0 & \textrm{ dla } & x<a\ \textrm{ lub }\ x>b.
| |
| − | \end{matrix}</math>
| |
| − |
| |
| − | Proste modyfikacje przytoczonych powyżej całek wykażą, że jego wartość oczekiwana wynosi
| |
| − |
| |
| − | <math>\frac{a+b}{2},</math>
| |
| − |
| |
| − | a wariancja
| |
| − |
| |
| − | <math>\frac{(b-a)^2}{12}</math>.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ==Rozkład dwumianowy==
| |
| − |
| |
| − | Powtarzamy <math>n</math> razy doświadczenie o dwóch możliwych
| |
| − | wynikach <math>A</math> i <math>\overline{A}</math> oraz
| |
| − | prawdopodobieństwach odpowiednio <math>p</math> i <math>q</math>, przy
| |
| − | czym <math>p+q=1</math>. Wynik <math>A</math> nazywamy sukcesem i
| |
| − | pytamy, jakie jest prawdopodobieństwo <math>k</math> sukcesów?
| |
| − |
| |
| − | Liczba <math>k</math>-elementowych podciągów ciągu
| |
| − | <math>n</math>-elementowego wynosi <math>\frac{n!}{(n-k)!}</math>,
| |
| − | czyli <math>n(n-1)(n-2)...(n-k+1)</math>; na pierwszym miejscu każdego
| |
| − | z ciągów możemy ustawić każdy z <math>n</math> elementów, po jego
| |
| − | ustaleniu na drugim miejscu każdy z <math>n-1</math> elementów itd.
| |
| − | Jeśli ponadto nie rozróżniamy podciągów o różnej kolejności elementów,
| |
| − | to liczbę tę podzielić należy przez ilość permutacji (przestawień)
| |
| − | zbioru <math>k</math>-elementowego, czyli <math>k!</math>. W rezultacie
| |
| − | dostajemy <ref> Symbol <math>\binom{n}{k}</math> występuje również we
| |
| − | wzorze na wspólczynniki <math>n</math>-tej potęgi sumy: <math>
| |
| − | (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{k}b^{n-k} </math>
| |
| − | </ref>
| |
| − |
| |
| − | <equation id=eq:68">
| |
| − | <math>
| |
| − | \frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k}.
| |
| − | </math>
| |
| − | </equation>
| |
| − |
| |
| − | Niech <math>P_{n}(k)</math> oznacza prawdopodobieństwo wystąpienia
| |
| − | <math>k</math> razy zdarzenia o prawdopodobieństwie <math>p</math> w
| |
| − | serii <math>n</math> powtórzeń. Prawdopodobieństwo jednej serii
| |
| − | <math>k</math> zdarzeń <math>A</math> i <math>(n-k)</math> zdarzeń
| |
| − | <math>\overline{A}</math> wynosi <math>p^k q^{(n-k)}</math>. Zgodnie
| |
| − | z powyższymi rozważaniami, takich serii, które różnią się kolejnością
| |
| − | wystąpienia zdarzeń <math>p</math> i <math>q</math>, będzie
| |
| − | <math>\binom n k</math>. Ostatecznie rozkład dwumianowy możemy opisać
| |
| − | następującym wzorem:
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | P_{n}(k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Rysunek <xr id="fig:rozw2"> %i</xr> przedstawia rozkłady dwumianowe
| |
| − | dla różnych wartości <math>p</math> i <math>n</math>. Wartość
| |
| − | oczekiwana <math>\mu</math> i wariancja <math>\sigma^2</math> rozkładu
| |
| − | dwumianowego wyrażają się następującymi wzorami:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \mu=np, \qquad \sigma^2=npq.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | ===Dowód===
| |
| − |
| |
| − | Bezpośrednie rachunki są w tym przypadku żmudne, więc dla znalezienia
| |
| − | wartości oczekiwanej i wariancji rozkładu dwumianowego posłużymy się
| |
| − | zmienną losową <math>x_{i}</math>, opisującą wynik pojedynczego
| |
| − | doświadczenia. Przyjmuje ona wartość 1, jeśli zaszło zdarzenie
| |
| − | <math>A</math> (sukces) i 0 w przypadku porażki. Rozkład liczby
| |
| − | sukcesów w serii <math>n</math> powtórzeń opisuje zmienna będąca ich
| |
| − | sumą <math>X=\sum\limits_{i=1}^n x_{i}</math>.
| |
| − |
| |
| − | Wartość oczekiwana zmiennej <math>x_i</math>, czyli wyniku ''pojedynczego''
| |
| − | doświadczenia, wynosi
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | E(x_i)=\sum\limits_i x_i P(X=x_i) = 1\cdot p + 0\cdot q = p.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Wartość oczekiwana sumy <math>n</math> zmiennych <math>x_i</math>,
| |
| − | dającej wartość zmiennej opisywanej rozkładem dwumianowym, będzie (z
| |
| − | [[STAT:Momenty#label-eq:61|liniowości wartości oczekiwanej]]) sumą
| |
| − | wartości oczekiwanych — stąd wartość oczekiwana rozkładu
| |
| − | dwumianowego wyniesie <math>n p</math>. Z kolei wariancja
| |
| − | <math>x_i</math> wynosi
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \sigma^2(x_i)=E((x_{i}-\mu)^{2})=\sum\limits_i (x_i-p)^2P(X=x_i)= (1-p)^{2}p+(0-p)^{2}q =q^{2}p+p^{2}q=pq(p+q)=pq.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Wariancja rozkładu dwumianowego będzie równa wariancji sumy <math>n</math> zmiennych <math>x_i</math>. Ponieważ zmienne te są niezależne,
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \sigma^2\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right) = n\sigma^2(x_i) = npq.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | [[Plik:Rozklad_dwumian.png|300px|thumb|left|<figure id="fig:rozw2">
| |
| − | </figure> Dwumianowe rozkłady prawdopodobieństwa dla <math>p=\frac 1
| |
| − | 6</math>, <math>\frac{1}{2}=\ i\ = 0.8</math> oraz <math>n=5=\ i\ =
| |
| − | 20</math>]]
| |
| − |
| |
| − | === Przykład:rozkład dwumianowy===
| |
| − |
| |
| − | Obliczmy rozkład prawdopodobieństwa wyrzucenia <math>k</math> szóstek
| |
| − | w pięciu rzutach kostką (symulowany w [[STAT:Z_komputerem|rozdziale o
| |
| − | metodzie Monte Carlo]]): <math>p=\nicefrac{1}{6}</math>, <math>q=\nicefrac{5}{6}</math>,
| |
| − | <math>\binom{5}{0}=1</math>, <math>\binom{5}{1}=5</math> i tak dalej.
| |
| − |
| |
| − | {|class=wikitable
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>k=</math>
| |
| − | |0
| |
| − | |1
| |
| − | |2
| |
| − | |3
| |
| − | |4
| |
| − | |5
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>P_5(k)\approx</math>
| |
| − | | 0,4019
| |
| − | | 0,4019
| |
| − | | 0,1608
| |
| − | | 0,0322
| |
| − | | 0,0032
| |
| − | | 0,0001
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − | Wartości te przedstawione są na wykresie w lewym górnym rogu rysunku
| |
| − | <xr id="fig:rozw2"> %i</xr>. Prawdopodobieństwo wyrzucenia przynajmniej
| |
| − | dwóch (czyli od dwóch do pięciu) szóstek wynosi
| |
| − | <equation id="eq:70">
| |
| − | <math>0,1608+0,0322+0,0032+0,0001\approx 0,1962</math>.
| |
| − | </equation>
| |
| − |
| |
| − | Z kolei rozkład liczby sukcesów w stu takich grach, przybliżany
| |
| − | numerycznie na [[STAT:Z_komputerem#label-fig:13|rysunku]], będzie odpowiadał <math>P_{100}(k)</math> dla <math>p=0,1962</math>.
| |
| − | Suma tego rozkładu dla <math>k>20</math> wynosi <math>0,4034</math>.
| |
| − |
| |
| − | === Przykład: trzy dziewczynki===
| |
| − |
| |
| − | Obliczmy prawdopodobieństwo, że wśród czworga dzieci będą co najmniej
| |
| − | trzy dziewczynki — zakładając, że prawdopodobieństwa urodzenia dziecka
| |
| − | każdej płci są równe.
| |
| − |
| |
| − | "Co najmniej trzy dziewczynki" można zasymulować jako cztery lub trzy
| |
| − | "sukcesy" w czterech "losowaniach płci" o prawdopodobieństwie sukcesu <math>\frac{1}{2}</math>, czyli
| |
| − |
| |
| − | <center><math> P_4(4)+P_4(3)=\binom{4}{4}\left(\frac 12\right)^4 +
| |
| − | \binom{4}{3}\left(\frac 12\right)^4 = (1+4)\left(\frac 12\right)^4 =
| |
| − | \frac{5}{16}= 0,3125, </math></center>
| |
| − |
| |
| − | zgodnie z wynikiem symulacji z [[zadania]].
| |
| − |
| |
| − | ===Przykład:===
| |
| − |
| |
| − | W rzutach do kosza uzyskiwaliśmy średnio 6 trafień na 10 rzutów. Po
| |
| − | zmianie techniki w pierwszych 10 rzutach uzyskaliśmy 9 trafień. Czy
| |
| − | należy wnioskować, że nowa technika rzutów poprawia średnią trafień?
| |
| − |
| |
| − | Jeśli zmiana techniki nie wpłynęła na skuteczność, to prawdopodobieństwo
| |
| − | uzyskania 9 lub więcej trafień na 10 rzutów odpowiada 9 lub 10 sukcesom w 10
| |
| − | losowaniach o prawdopodobieństwie 0,6, czyli:
| |
| − |
| |
| − | <center><math>\begin{matrix}
| |
| − | P_{10}(9)+P_{10}(10)=\binom{10}{9}(0,6)^9 0,4+\binom{10}{10}(0,6)^{10} = \\
| |
| − | = (0,6)^9(10\cdot0,4+0,6)
| |
| − | \approx
| |
| − | 0,0101\cdot 4,6=0,046.
| |
| − | \end{matrix}</math></center>
| |
| − |
| |
| − | Czyli mniej niż 5% — zgodnie z wynikiem [[symulacji]].
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ==Rozkład Poissona==
| |
| − |
| |
| − | W granicy dużej liczby <math>n</math> zdarzeń o niskim
| |
| − | prawdopodobieństwie <math>p</math>, tj. <math>n\rightarrow \infty ,</math> <math>np=\lambda =const., </math> otrzymujemy z rozkładu
| |
| − | dwumianowego rozkład Poissona:
| |
| − |
| |
| − | <equation id="eq:72">
| |
| − | <math>
| |
| − | P_{n}(k)=P_{\lambda}(k)=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }.
| |
| − | </math>
| |
| − | </equation>
| |
| − |
| |
| − | ===Dowód===
| |
| − |
| |
| − | <math>\begin{matrix}
| |
| − | P_{n}(k)&=&\frac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}q^{n-k}=
| |
| − | \frac{n!}{k!(n-k)!}
| |
| − | \left(\frac{\lambda }{n}\right)^{k}\frac{(1-\frac{\lambda
| |
| − | }{n})^{n}}{(1-\frac{\lambda }{n})^{k}}=\\
| |
| − | &=&\frac{\lambda ^{k}}{k!}\frac{n(n-1)...(n-k+1)(1-\frac{\lambda }{n})^{n}}{n^{k}(1-\frac{\lambda }{n})^{k}}=
| |
| − | \\
| |
| − | &=&\frac{\lambda ^{k}}{k!}(1-\frac{\lambda }{n})^{n}\frac{(1-\frac{1}{n})
| |
| − | (1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})}{(1-\frac{\lambda }{n})^{k}}.
| |
| − | \end{matrix}</math>
| |
| − |
| |
| − | Ponieważ <math>\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }
| |
| − | \frac{(1-\frac{1}{n})
| |
| − | (1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})}{(1-\frac{\lambda }{n})^{k}} =
| |
| − | 1</math>, oraz <math>\underset{n\rightarrow \infty }{\lim
| |
| − | }(1-\frac{\lambda }{n})^{n}=e^{-\lambda}</math>,
| |
| − |
| |
| − | dostajemy <xr id="eq:72">(%i)</xr>.
| |
| − |
| |
| − | '''Sprawdźmy warunek [[STAT:Prawdopodobieństwo#label-eq:43|<math>P(\Omega)=1</math>]]'''
| |
| − |
| |
| − | Przestrzeń wszystkich możliwych zdarzeń wyczerpują tu liczby sukcesów
| |
| − | <math>k</math> od zera do <math>n</math>
| |
| − | <math>(n\rightarrow\infty)</math>, czyli
| |
| − |
| |
| − | <equation id="eq:73">
| |
| − | <math>
| |
| − | P(\Omega)=\sum_{k=0}^{\infty} P_{\lambda }(k)=
| |
| − | \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }=
| |
| − | e^{-\lambda }\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^{k}}{k!}=
| |
| − | e^{-\lambda }e^{\lambda }=1
| |
| − | </math>
| |
| − | </equation>
| |
| − |
| |
| − | gdyż
| |
| − |
| |
| − | <equation id="eq:74">
| |
| − | <math>
| |
| − | \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^{k}}{k!} = e^{\lambda}.
| |
| − | </math>
| |
| − | </equation>
| |
| − |
| |
| − | ===Wartość oczekiwana i wariancja===
| |
| − |
| |
| − | wynoszą:
| |
| − | <equation id="eq:75">
| |
| − | <math>
| |
| − | \mu(k)=\sigma^2(k)=\lambda.
| |
| − | </math>
| |
| − | </equation>
| |
| − |
| |
| − | ====Dowód====
| |
| − | <math>
| |
| − | E(k)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}k\frac{\lambda ^{k}}{k!}
| |
| − | e^{-\lambda }=\lambda e^{-\lambda }\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}
| |
| − | \frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda e^{-\lambda }\underset{l=0}{\overset{
| |
| − | \infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{l}}{l!}=\lambda e^{-\lambda } e^{\lambda }=\lambda,
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | <math>\begin{matrix}
| |
| − | \sigma ^{2}(k)&
| |
| − | {=}&
| |
| − | E(k^{2})-\{E(k)\}^{2}=\ \left(\underset{k=0}{\overset{\infty }
| |
| − | {\sum}}k^{2}\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda } \right) -\lambda ^{2}=
| |
| − | \\
| |
| − | &=&\lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}-\lambda ^{2}
| |
| − | =\lambda \{e^{-\lambda }\underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}(l+1)\frac{\lambda ^{l}}{l!}-\lambda \}=
| |
| − | \\
| |
| − | &=&\lambda \{e^{-\lambda }\underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}l
| |
| − | \frac{\lambda ^{l}}{l!}+e^{-\lambda }\underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}
| |
| − | \frac{\lambda ^{l}}{l!}-\lambda\} =\end{matrix}</math>
| |
| − |
| |
| − | z <xr id="eq:74">(%i)</xr>
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | = \lambda (\lambda +1-\lambda )=\lambda .
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Jeśli wariancja rozkładu Poissona jest równa jego wartości oczekiwanej (<math>\lambda</math>), to odchylenie standardowe <math>\sigma</math> (czyli pierwiastek z wariancji) wyniesie
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \sigma ^{2}(k)=\lambda \Rightarrow \sigma (k)=\sqrt{\lambda }=\sqrt{np}.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Wynik ten przytaczany bywa jako "prawo" określające błąd liczby
| |
| − | zliczeń jako jej pierwiastek.
| |
| − |
| |
| − | [[Plik:Rozklad_poissona.png|300px|thumb|left|<figure id="fig:rozw2"></figure>Rozkłady Poissona dla różnych wartości parametru <math>\lambda</math>.]]
| |
| − |
| |
| − | ==Rozkład Gaussa==
| |
| − |
| |
| − | Rozkład Gaussa (zwany też rozkładem normalnym lub krzywą dzwonową) zależy od
| |
| − | parametrów <math>\mu</math> i <math>\sigma</math>. Jego gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem:
| |
| − | <equation id="eq:78">
| |
| − | <math>
| |
| − | p(x)=N(\mu, \sigma)= \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}.
| |
| − | </math>
| |
| − | </equation>
| |
| − |
| |
| − | Parametry te są tak dobrane, że wartość oczekiwana wynosi
| |
| − | <math>\mu</math>, a wariancja <math>\sigma^2</math>, co można
| |
| − | sprawdzić wstawiając <xr id="eq:78">(%i)</xr> do wzorów na
| |
| − | [[STAT:Momenty#label-eq:60|wartość oczekiwaną]] i
| |
| − | [[STAT:Momenty#label-eq:63|wariancję]].
| |
| − |
| |
| − | [[Plik:Rozklad_gaussa.png|300px|thumb|left|<figure
| |
| − | id="fig:rozklad_gaussa"></figure><math>N(0,1)</math>, czyli
| |
| − | standardowy rozkład Gaussa o zerowej średniej (<math>\mu=0</math>) i
| |
| − | jednostkowej wariancji (<math>\sigma=1</math>).]]
| |
| − |
| |
| − | Rozkład Gaussa dla zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej
| |
| − | wariancji (<math>\mu=0, \sigma^2=1</math>) zwiemy ''standardowym
| |
| − | rozkładem Gaussa'' i oznaczamy zwykle <math>N(0,1)</math>.
| |
| − | Przedstawia go rysunek <xr id="fig:rozklad_gaussa"> %i</xr>.
| |
| − | Zaznaczono na nim m. in. wartość całki od <math>-\infty</math> do
| |
| − | <math>-1</math>, czyli prawdopodobieństwo, że wylosowana z tego
| |
| − | rozkładu liczba będzie mniejsza niż <math>-1</math>. Jak widać, wynosi
| |
| − | ono ok. 16%, a jeśli weźmiemy pod uwagę również wartości większe od 1,
| |
| − | będzie to aż 32%! Oznacza to, że przy losowaniu wielu liczb z tego
| |
| − | rozkładu prawie dwie spośród pięciu mogą znaleźć się w odległości
| |
| − | większej niż <math>\sigma</math> od wartości oczekiwanej. Warto o tym
| |
| − | pamiętać, gdyż odchylenie standardowe <math>\sigma</math> bywa czasami
| |
| − | nazywane "błędem". Stwierdzenie "w granicach błędu" może odnosić się
| |
| − | raczej np.do wartości 3<math>\sigma</math>: prawdopodobieństwo
| |
| − | wylosowania wartości oddalonej od średniej o więcej niż
| |
| − | <math>3\sigma</math> dla rozkładu Gaussa wynosi zaledwie 0,3 wartości
| |
| − | prawdopodobieństw odchyleń większych niż <math>1\div 3\sigma</math>
| |
| − | dla zmiennych z rozkładu normalnego:
| |
| − |
| |
| − | <equation id="eq:80">
| |
| − | <math>
| |
| − | x\in N(\mu,\sigma)\quad \Rightarrow \quad
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | P(\left| x-\mu \right| \geq \sigma )\approx 0,\!317,\\
| |
| − | P(\left| x-\mu \right| \geq 2\sigma )\ \approx 0,\!046,\\
| |
| − | \ P(\left| x-\mu \right| \geq 3\sigma )\approx 0,\!003.
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | </math>
| |
| − | </equation>
| |
| − |
| |
| − | Należy jednak pamiętać, że gęstość prawdopodobieństwa dana równaniem
| |
| − | <xr id="eq:78">(%i)</xr> zanika w nieskończoności tylko
| |
| − | asymptotycznie, i dlatego w świetle tego rozkładu prawdopodobieństwo
| |
| − | wylosowania ''dowolnej'' wartości będzie niezerowe (choć dla
| |
| − | większości niezmiernie małe). Prowadzi to czasem do paradoksów, jak
| |
| − | np. niezerowe prawdopodobieństwo ujemnej masy.<ref>Gaussowski
| |
| − | rozkład pomiarów jakiejkolwiek masy, określony dodatnimi wartościami
| |
| − | <math>\mu</math> i <math>\sigma</math>, będzie wykazywał nieujemne —
| |
| − | choć zapewne bardzo małe — prawdopodobieństwo również dla ujemnych
| |
| − | wartości zmiennej losowej, którą w tym przypadku będzie mierzona
| |
| − | masa.</ref> Jest to cena za korzystanie ze zwięzłej i eleganckiej
| |
| − | postaci analitycznej rozkładu.
| |
| − |
| |
| − | --------------------
| |
| − | <references>
| |
