Z Brain-wiki
Skocz do: nawigacja, szukaj

AS/ Szereg Fouriera

Sygnał okresowy (o okresie T) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:

 s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi n}{T} t},

gdzie

c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^{i \frac{2\pi n}{T} t} d t

Dowód (powyższego wzoru 2 na współczynniki rozwinięcia Fouriera):

Mnożymy obie strony równania Equation 1 przez e^\frac{2\pi i k t}{T} i całkujemy po dt od 0 do T:

 \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt

Całki po prawej stronie znikają dla k \ne n. Jedyny niezerowy wyraz dla k = n wynosi \int_0^T c_n dt, czyli c_n T (bo e^0=1).

Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami. Wagi c_n możemy traktować jako względny "udział" odpowiadających im częstości.


Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera

\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2

Dowód: \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t  = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = \frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right)\left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =

 \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\;

 = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2

Ortogonalność bazy e^{ikx} wynika z tożsamości trygonometrycznej

\sin(kx)\sin(nx) = \frac{1}{2}\bigg(\cos\big((k-n)x\big) - \cos\big((k+n)x\big)\bigg)


Energia, moc, widmo

Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności w czasie od 0 do T, to wytracona przez niego energia wyniesie \int_0^T s(t)^2 d t. W ogólności, biorąc pod uwagę sygnały o wartościach zespolonych, całkowitą energię sygnału definiujemy jako \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t. Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli \frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t. Jak widać z powyższego twierdzenia, dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako sumę kwadratów współczynników szeregu Fouriera \sum c_n^2. Pozwala to interpretować c_n^2 jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość. Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rys.%i 1).

Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; z sygnału nie-okresowego s(t), określonego na skończonym przedziale [0, T], możemy utworzyć sygnał okresowy s_T(t):

Klasyczna rys 1 5.jpg
\begin{matrix} s_T(t)=s(t),\;t\in[0,T] \\ s_T(t+nT)=s(t),\;n=1,2,\ldots   \end{matrix}

tożsamy z s(t) w przedziale [0, T], który można już przedstawić w postaci sumy %i 1.


Przykład: Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji \Theta(t) (rys. %i 1), określonej na przedziale [0,1] w następujący sposób:

 \Theta(t) = \left\{ \begin{matrix} 1 &, & t \in [0, \frac{1}{2})\\ 0 &, & t \in [ \frac{1}{2}, 1] \end{matrix}\right.

Bezpośrednio z wzoru %i 2 dostajemy (dla T = 1)

\begin{matrix} c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t = \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t = ( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) = \left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}} \\= \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mathrm{dla}\; n = \pm2, \pm4, \ldots\\ i/\pi n & \mathrm{dla}\; n = \pm1, \pm3, \ldots \end{matrix} \right .\\ (\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2} \end{matrix}

Tak więc z wzoru %i 1

\begin{matrix} \Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}  c_n e^{-i 2 \pi t n} = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t) \end{matrix}


W sumie kosinusów wyrazy dla n>0 znoszą odpowiednie wyrazy dla -n, w sumie sinusów wyrazy dla \pm n dodają się, dając w efekcie

\Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)}
Od góry, kolejno: funkcja \Theta (równanie %i 4), "uzupełniona" do funkcji okresowej według wzoru  %i 3, pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera, kwadraty współczynników szeregu Fouriera — dyskretne widmo, pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia (5). Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji \theta(t) w punktach \left\{\pm \frac{k}{2}, k \in N \right\}; niejednorodna zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę efektu Gibbsa.