WnioskowanieStatystyczne/Regresja liniowa

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład

Regresja liniowa

Pary pomiarów [math](x_{i},y_{i})[/math]. Dla każdego [math]x_{i}[/math], [math]y_{i}[/math] traktujemy jak zmienną losową z rozkładu normalnego o wartości średniej [math]a+b[/math] [math]x_{i}[/math] i wariancji [math]\sigma _{i}^{2}[/math]. Prawdopodobieństwo a posteriori otrzymania [math]N[/math] wyników [math]y_{i}[/math] dla określonych [math]x_{i}[/math] przy założeniu wartości [math]a[/math] i [math]b[/math]

[math] P(\overline{y} \mid \overline{x}, a, b) =\underset{i=1}{\overset{N}{\prod }} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma _{i}^{2}}}e^{\frac{(y_{i}-a-bx_{i})^{2}}{2\sigma_{i}^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{(2\pi )^{n}}} \; \underset{i=1}{\overset{N}{\prod }} \frac{1}{\sigma _{i}} \; e^{-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{ (y_{i}-a-bx_{i})^{2}}{\sigma _{i}^{2}}} [/math]

logarytmiczna funkcja wiarygodności:

[math] l=-\frac{N}{2}\ln 2\pi +\ln (\underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}\frac{1}{ \sigma _{i}})-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{ (y_{i}-a-bx_{i})^{2}}{\sigma _{i}^{2}} [/math]

[math]\sigma _{i}[/math] zwykle nie znamy, więc przyjmujemy jako stałą [math]\forall i \sigma _{i}=\sigma[/math]. Pozostaje szukanie minimum sumy

[math]S=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-a-bx_{i})^{2}[/math]

w zerze pochodnej po parametrach [math]a[/math] i [math]b[/math]

[math] \frac{\partial S}{\partial a}=-2\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-a-bx_{i})\\ \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} \left(y_i - a - bx_i\right) = 0 \\ \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_i = \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} a + b\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} x_i \\ \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_i = N a + b\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} x_i \\ \frac{1}{N} \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_{i} = a + \frac{1}{N} b \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} x_i [/math]

[math] \bar{y} = a + b\bar{x} [/math]

[math] a = \bar{y} - b\bar{x} [/math]

wyznaczone stąd [math]a[/math] podstawiamy do wzoru na [math]S[/math]

[math] S=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-a-bx_{i})^{2} [/math]

[math] = \underset{i=1}{\overset{N}{\sum}}(y_{i}-\bar{y} - b\bar{x}-bx_{i})^{2} [/math]

[math] =\underset{i=1}{\overset{N}{\sum}} \left( (y_{i}-\bar{y}) - b (x_i - \bar{x}) \right)^2 [/math]

po podstawieniu przyrównujemy do zera pochodną po [math]b[/math]

[math] \dfrac{\partial S}{\partial b}= -2\sum_{i=1}^N \left( (y_{i} - \bar{y}) - b(x_{i} - \bar{x})\right)\left(x_{i}-\bar{x}\right) = 0 [/math]

[math] \sum_{i=1}^N \left(y_{i} - \bar{y}\right)\left(x_i - \bar{x}\right) - b\sum_{i=1}^N \left(x_i - \bar{x}\right)^2 = 0 [/math]

[math] b = \dfrac{\sum_{i=1}^N \left(y_{i} - \bar{y}\right)\left(x_i - \bar{x}\right)}{\sum_{i=1}^N \left(x_{i}-\bar{x}\right)^2} [/math]

i ostatecznie dostajemy znajome wzory:

[math] b=\dfrac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}- \overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}}, \qquad a=\overline{y}-b\overline{x} [/math]