Przekształcenie Fouriera: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 5 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 145: Linia 145:
  
 
===Symetrie i własności Transformaty Fouriera===
 
===Symetrie i własności Transformaty Fouriera===
 +
  
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
Linia 175: Linia 176:
 
|rzeczywista i nieparzysta
 
|rzeczywista i nieparzysta
 
|-
 
|-
|+<figure id="24"> ''Symetrie transformat Fouriera''</figure>
+
|+<figure id="24"> ''Symetrie transformat Fouriera, <math>\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f</math>''</figure>
 
|}
 
|}
  
Linia 187: Linia 188:
 
| <math>\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})</math>  <math>\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}</math>  <math>\hat{s}(a f)</math>
 
| <math>\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})</math>  <math>\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}</math>  <math>\hat{s}(a f)</math>
 
|-
 
|-
| przesunięcie w czasie:
+
| [[Filtry#Liniowe_i_nieliniowe_op.C3.B3.C5.BAnienie_fazy.2C_op.C3.B3.C5.BAnienie_grupowe|przesunięcie w czasie]]:
| <math>s(t - t_0)</math>  <math>\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}</math> & <math>\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}</math>
+
| <math>s(t - t_0)</math>  <math>\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}</math> <math>\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}</math>
 
|-
 
|-
 
| przesunięcie w częstości:
 
| przesunięcie w częstości:
| <math>s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}</math>  <math>\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}</math> & <math>\hat{s}(f - f_0)</math>
+
| <math>s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}</math>  <math>\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}</math> <math>\hat{s}(f - f_0)</math>
 
|-
 
|-
 
|+<figure id="25">''Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera''</figure>
 
|+<figure id="25">''Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera''</figure>
 
|}
 
|}
  
Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z równań '''(FT)''' i '''(IFT)'''.
+
 
 +
 
 +
 
 +
Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z równań '''(FT)''' i '''(IFT)''', np.:
 +
 
 +
<math> \mathbf{(FT)} \qquad
 +
\displaystyle
 +
ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
<math>
 +
\displaystyle
 +
ℱ\left( s(t-t_0) \right)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t-t_0)e^{i \omega (t-t_0)} d t =
 +
e^{-i \omega t_0} \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t
 +
</math>
 +
 
 +
 
  
 
<!--
 
<!--

Aktualna wersja na dzień 08:05, 18 paź 2024

Przekształcenie Fouriera

A jeśli sygnał nie jest ściśle okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości [math]\forall t \, s(t + T) = s(t)[/math]?

Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: [math]T\rightarrow\infty[/math]. Wtedy odstęp [math]\left(\frac{2\pi}{T}\right)[/math] między częstościami kolejnych elementów sumy z wyprowadzonego w poprzednim rozdziale wzoru na szereg Fouriera


[math] \displaystyle s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n}, [/math]


dąży do [math]0[/math] i suma przechodzi w całkę


[math] \mathbf{(IFT)} \qquad \displaystyle s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f [/math]


funkcja [math]\hat{s}(f)[/math], zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera


[math]\displaystyle c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t [/math]


to transformata Fouriera sygnału [math]s(t)[/math], czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera [math]ℱ[/math].


[math] \mathbf{(FT)} \qquad \displaystyle ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]


Transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości — jak widać ze wzoru (IFT), jest to operacja odwracalna.

Moduł transformaty Fouriera dla danej częstości [math]f[/math] opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał.


Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera

[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}( f ) |^2 d f [/math]


Dowód:


[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \overline{s(t)} dt = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} e^{i 2\pi t f} d f \right) dt = [/math]


[math]\displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi t f} d t \right) df = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \hat{s}(f) d f = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}(f) |^2 d f [/math]

Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego

Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera

Szczególna postać wzorów (FT) i (IFT) wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu: [math]f = \frac{1}{T}[/math] (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku — we wzorze na transformatę odwrotną (IFT) lub we wzorze (FT). Z kolei przyjęcie częstości kołowej [math]\omega = \frac{2\pi}{T}[/math] (w radianach) przenosi czynnik [math]2\pi[/math] (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę. Stąd różnorodność możliwych par wzorów:


[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]

[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i 2\pi f t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]

Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację (FT) i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną (IFT); ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu [math]\omega[/math] jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.

Symetrie i własności Transformaty Fouriera

jeśli sygnał [math]s(t)[/math] jest[math]\ldots[/math] to [math]ℱ s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots[/math]
parzysty ([math]s(t)=s(-t)[/math]) parzysta
nieparzysty ([math]s(t)=-s(-t)[/math]) nieparzysta
rzeczywisty [math] \hat{s}(-\omega) = \overline{\hat{s}(\omega})[/math]
urojony [math]\hat{s}(-\omega) = -\overline{\hat{s}(\omega})[/math]
rzeczywisty i parzysty rzeczywista i parzysta
rzeczywisty i nieparzysty urojona i nieparzysta
urojony i parzysty urojona i parzysta
urojony i nieparzysty rzeczywista i nieparzysta
Symetrie transformat Fouriera, [math]\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f[/math]


skalowanie w czasie: [math]s(a t)[/math] & [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})[/math]
skalowanie w częstości: [math]\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})[/math] [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\hat{s}(a f)[/math]
przesunięcie w czasie: [math]s(t - t_0)[/math] [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}[/math]
przesunięcie w częstości: [math]s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}[/math] [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\hat{s}(f - f_0)[/math]
Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera



Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z równań (FT) i (IFT), np.:

[math] \mathbf{(FT)} \qquad \displaystyle ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]


[math] \displaystyle ℱ\left( s(t-t_0) \right)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t-t_0)e^{i \omega (t-t_0)} d t = e^{-i \omega t_0} \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]