Przekształcenie Fouriera: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 24 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Przekształcenie Fouriera==
+
==[[Analiza_sygnałów_-_wykład|]] Przekształcenie Fouriera==
 
A jeśli sygnał nie jest ''ściśle''  okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie  
 
A jeśli sygnał nie jest ''ściśle''  okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie  
 
na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości <math>\forall t \, s(t + T) = s(t)</math>?
 
na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości <math>\forall t \, s(t + T) = s(t)</math>?
Linia 8: Linia 8:
  
  
<math>\displaystyle
+
<math>
s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n},
+
\displaystyle s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n},
 
</math>
 
</math>
  
Linia 16: Linia 16:
  
  
<equation id="eq:21">
+
<math>
<math>\displaystyle
+
\mathbf{(IFT)} \qquad \displaystyle s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f
s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f  
 
 
</math>
 
</math>
</equation>
+
 
 
  
 
funkcja <math>\hat{s}(f)</math>, zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera
 
funkcja <math>\hat{s}(f)</math>, zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera
Linia 31: Linia 29:
  
  
to transformata Fouriera sygnału <math>s(t)</math>, czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera <math>\mathcal{F}</math>.
+
to transformata Fouriera sygnału <math>s(t)</math>, czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera <math></math>.  
 
    
 
    
  
 
<equation id="eq:22">
 
<equation id="eq:22">
<math>\displaystyle
+
<math> \mathbf{(FT)} \qquad
\mathcal{F}\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t  
+
\displaystyle
 +
\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t  
 
</math>  
 
</math>  
 
</equation>
 
</equation>
Linia 49: Linia 48:
  
  
Jak widać, transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości.
+
Transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości — jak widać ze wzoru '''(IFT)''', jest to operacja '''odwracalna'''.  
Jej moduł dla danej częstości <math>f</math> opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał <xr id="eq:21">(%i)</xr>.
 
  
 +
Moduł transformaty Fouriera dla danej częstości <math>f</math> opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał.
 +
 +
<!--
 
Moduł transformaty Fouriera odpowiada<ref>
 
Moduł transformaty Fouriera odpowiada<ref>
 
Jeśli znamy dokładnie wartości sygnału od <math>-\infty</math> do <math>\infty</math>; w praktyce tak się nie zdarza, stąd  
 
Jeśli znamy dokładnie wartości sygnału od <math>-\infty</math> do <math>\infty</math>; w praktyce tak się nie zdarza, stąd  
Linia 64: Linia 65:
 
może wyjątkowo patologiczne zachowanie funkcji, jak nieskończona liczba ekstremów lub punktów nieciągłości  
 
może wyjątkowo patologiczne zachowanie funkcji, jak nieskończona liczba ekstremów lub punktów nieciągłości  
 
w skończonym przedziale. Podobnie wygląda sytuacja dla szeregów Fouriera.</ref>.
 
w skończonym przedziale. Podobnie wygląda sytuacja dla szeregów Fouriera.</ref>.
 
+
-->
  
 
===Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera===
 
===Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera===
Linia 88: Linia 89:
 
</math>
 
</math>
  
Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego:
+
Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego
: ''Niech <math>g:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}</math> &mdash; funkcja ciągła. Wówczas''  
+
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
: <math>\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d g(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b g(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} g(x,y)\,d(x,y)</math>.
+
|
 
+
|-
 
+
| ''Niech <math>g:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}</math> &mdash; funkcja ciągła. Wówczas''  
 +
: <math>\displaystyle \int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d g(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b g(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} g(x,y)\,dx dy</math>.
 +
|}
  
 
===Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera===  
 
===Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera===  
 
   
 
   
Szczególna postać wzorów <xr id="eq:21">(%i)</xr> i <xr id="eq:22">(%i)</xr>
+
Szczególna postać wzorów '''(FT)''' i '''(IFT)'''
 
wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu:
 
wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu:
<math>f = \frac{1}{T}</math> (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku - we wzorze na transformatę odwrotną <xr id="eq:21">(%i)</xr>
+
<math>f = \frac{1}{T}</math> (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku we wzorze na transformatę odwrotną '''(IFT)'''
lub we wzorze <xr id="eq:22">(%i)</xr>. Z kolei przyjęcie częstości kołowej <math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math>
+
lub we wzorze '''(FT)'''. Z kolei przyjęcie częstości kołowej <math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math>
 
(w radianach) przenosi czynnik <math>2\pi</math> (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę.   
 
(w radianach) przenosi czynnik <math>2\pi</math> (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę.   
 
Stąd różnorodność możliwych par wzorów:
 
Stąd różnorodność możliwych par wzorów:
Linia 136: Linia 139:
  
 
Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację  
 
Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację  
<xr id="eq:22">(%i)</xr> i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną  
+
'''(FT)''' i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną  
<xr id="eq:21">(%i)</xr>; ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu
+
'''(IFT)'''; ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu
 
<math>\omega</math> jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja  
 
<math>\omega</math> jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja  
 
ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.
 
ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.
  
 
===Symetrie i własności Transformaty Fouriera===
 
===Symetrie i własności Transformaty Fouriera===
 +
  
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
 
!''jeśli sygnał <math>s(t)</math> jest<math>\ldots</math>''
 
!''jeśli sygnał <math>s(t)</math> jest<math>\ldots</math>''
!''to''  <math>\mathcal{F} s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots</math>  
+
!''to''  <math>s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots</math>  
 
|-
 
|-
 
| parzysty  (<math>s(t)=s(-t)</math>)
 
| parzysty  (<math>s(t)=s(-t)</math>)
Linia 172: Linia 176:
 
|rzeczywista i nieparzysta
 
|rzeczywista i nieparzysta
 
|-
 
|-
|+<figure id="24"> ''Symetrie transformat Fouriera''</figure>
+
|+<figure id="24"> ''Symetrie transformat Fouriera, <math>\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f</math>''</figure>
 
|}
 
|}
  
Linia 179: Linia 183:
 
|-
 
|-
 
| skalowanie w czasie:
 
| skalowanie w czasie:
| <math>s(a t)</math> & <math>\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}</math> & <math>\frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})</math>
+
| <math>s(a t)</math> & <math>\stackrel{}{\Longrightarrow}</math> <math>\frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})</math>
 
|-
 
|-
 
| skalowanie w częstości:
 
| skalowanie w częstości:
| <math>\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})</math> & <math>\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}</math> <math>\hat{s}(a f)</math>
+
| <math>\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})</math> <math>\stackrel{}{\Longrightarrow}</math>   <math>\hat{s}(a f)</math>
 
|-
 
|-
| przesunięcie w czasie:
+
| [[Filtry#Liniowe_i_nieliniowe_op.C3.B3.C5.BAnienie_fazy.2C_op.C3.B3.C5.BAnienie_grupowe|przesunięcie w czasie]]:
| <math>s(t - t_0)</math> & <math>\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}</math> & <math>\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}</math>
+
| <math>s(t - t_0)</math> <math>\stackrel{}{\Longrightarrow}</math> <math>\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}</math>
 
|-
 
|-
 
| przesunięcie w częstości:
 
| przesunięcie w częstości:
| <math>s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}</math> & <math>\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}</math> & <math>\hat{s}(f - f_0)</math>
+
| <math>s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}</math> <math>\stackrel{}{\Longrightarrow}</math> <math>\hat{s}(f - f_0)</math>
 
|-
 
|-
 
|+<figure id="25">''Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera''</figure>
 
|+<figure id="25">''Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera''</figure>
 
|}
 
|}
  
Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z definicji
+
 
<xr id="eq:21">(%i)</xr> i <xr id="eq:22">(%i)</xr>.
+
 
 +
 
 +
Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z równań '''(FT)''' i '''(IFT)''', np.:
 +
 
 +
<math> \mathbf{(FT)} \qquad
 +
\displaystyle
 +
ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t
 +
</math>  
 +
 
 +
 
 +
<math>
 +
\displaystyle
 +
ℱ\left( s(t-t_0) \right)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t-t_0)e^{i \omega (t-t_0)} d t =
 +
e^{-i \omega t_0} \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t
 +
</math>  
 +
 
 +
 
  
 
<!--
 
<!--
Linia 219: Linia 239:
 
zbiór <math>\left\{e^{ik\omega}\right\}_{k\in\mathbb{Z}}</math> jest
 
zbiór <math>\left\{e^{ik\omega}\right\}_{k\in\mathbb{Z}}</math> jest
 
ortonormalną bazą <math>L^2([0,2\pi])</math>.
 
ortonormalną bazą <math>L^2([0,2\pi])</math>.
 
 
-->
 
-->
  
----
+
<div align="right">
 
+
[[Szereg_Fouriera|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] [[FT-intuicja|⮕]]
<references/>
+
</div>

Aktualna wersja na dzień 08:05, 18 paź 2024

Przekształcenie Fouriera

A jeśli sygnał nie jest ściśle okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości [math]\forall t \, s(t + T) = s(t)[/math]?

Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: [math]T\rightarrow\infty[/math]. Wtedy odstęp [math]\left(\frac{2\pi}{T}\right)[/math] między częstościami kolejnych elementów sumy z wyprowadzonego w poprzednim rozdziale wzoru na szereg Fouriera


[math] \displaystyle s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n}, [/math]


dąży do [math]0[/math] i suma przechodzi w całkę


[math] \mathbf{(IFT)} \qquad \displaystyle s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f [/math]


funkcja [math]\hat{s}(f)[/math], zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera


[math]\displaystyle c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t [/math]


to transformata Fouriera sygnału [math]s(t)[/math], czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera [math]ℱ[/math].


[math] \mathbf{(FT)} \qquad \displaystyle ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]


Transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości — jak widać ze wzoru (IFT), jest to operacja odwracalna.

Moduł transformaty Fouriera dla danej częstości [math]f[/math] opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał.


Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera

[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}( f ) |^2 d f [/math]


Dowód:


[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \overline{s(t)} dt = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} e^{i 2\pi t f} d f \right) dt = [/math]


[math]\displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi t f} d t \right) df = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \hat{s}(f) d f = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}(f) |^2 d f [/math]

Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego

Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera

Szczególna postać wzorów (FT) i (IFT) wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu: [math]f = \frac{1}{T}[/math] (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku — we wzorze na transformatę odwrotną (IFT) lub we wzorze (FT). Z kolei przyjęcie częstości kołowej [math]\omega = \frac{2\pi}{T}[/math] (w radianach) przenosi czynnik [math]2\pi[/math] (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę. Stąd różnorodność możliwych par wzorów:


[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]

[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i 2\pi f t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]

Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację (FT) i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną (IFT); ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu [math]\omega[/math] jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.

Symetrie i własności Transformaty Fouriera

jeśli sygnał [math]s(t)[/math] jest[math]\ldots[/math] to [math]ℱ s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots[/math]
parzysty ([math]s(t)=s(-t)[/math]) parzysta
nieparzysty ([math]s(t)=-s(-t)[/math]) nieparzysta
rzeczywisty [math] \hat{s}(-\omega) = \overline{\hat{s}(\omega})[/math]
urojony [math]\hat{s}(-\omega) = -\overline{\hat{s}(\omega})[/math]
rzeczywisty i parzysty rzeczywista i parzysta
rzeczywisty i nieparzysty urojona i nieparzysta
urojony i parzysty urojona i parzysta
urojony i nieparzysty rzeczywista i nieparzysta
Symetrie transformat Fouriera, [math]\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f[/math]


skalowanie w czasie: [math]s(a t)[/math] & [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})[/math]
skalowanie w częstości: [math]\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})[/math] [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\hat{s}(a f)[/math]
przesunięcie w czasie: [math]s(t - t_0)[/math] [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}[/math]
przesunięcie w częstości: [math]s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}[/math] [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\hat{s}(f - f_0)[/math]
Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera



Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z równań (FT) i (IFT), np.:

[math] \mathbf{(FT)} \qquad \displaystyle ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]


[math] \displaystyle ℱ\left( s(t-t_0) \right)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t-t_0)e^{i \omega (t-t_0)} d t = e^{-i \omega t_0} \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]