Przekształcenie Fouriera: Różnice pomiędzy wersjami
(Nie pokazano 24 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
− | ==[[Analiza_sygnałów_- | + | ==[[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] Przekształcenie Fouriera== |
A jeśli sygnał nie jest ''ściśle'' okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie | A jeśli sygnał nie jest ''ściśle'' okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie | ||
na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości <math>\forall t \, s(t + T) = s(t)</math>? | na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości <math>\forall t \, s(t + T) = s(t)</math>? | ||
Linia 8: | Linia 8: | ||
− | <math>\displaystyle | + | <math> |
− | s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n}, | + | \displaystyle s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n}, |
</math> | </math> | ||
Linia 16: | Linia 16: | ||
− | < | + | <math> |
− | + | \mathbf{(IFT)} \qquad \displaystyle s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f | |
− | s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f | ||
</math> | </math> | ||
− | + | ||
− | |||
funkcja <math>\hat{s}(f)</math>, zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera | funkcja <math>\hat{s}(f)</math>, zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera | ||
Linia 31: | Linia 29: | ||
− | to transformata Fouriera sygnału <math>s(t)</math>, czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera <math> | + | to transformata Fouriera sygnału <math>s(t)</math>, czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera <math>ℱ</math>. |
<equation id="eq:22"> | <equation id="eq:22"> | ||
− | <math>\displaystyle | + | <math> \mathbf{(FT)} \qquad |
− | + | \displaystyle | |
+ | ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t | ||
</math> | </math> | ||
</equation> | </equation> | ||
Linia 49: | Linia 48: | ||
− | + | Transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości — jak widać ze wzoru '''(IFT)''', jest to operacja '''odwracalna'''. | |
− | |||
+ | Moduł transformaty Fouriera dla danej częstości <math>f</math> opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał. | ||
+ | |||
+ | <!-- | ||
Moduł transformaty Fouriera odpowiada<ref> | Moduł transformaty Fouriera odpowiada<ref> | ||
Jeśli znamy dokładnie wartości sygnału od <math>-\infty</math> do <math>\infty</math>; w praktyce tak się nie zdarza, stąd | Jeśli znamy dokładnie wartości sygnału od <math>-\infty</math> do <math>\infty</math>; w praktyce tak się nie zdarza, stąd | ||
Linia 64: | Linia 65: | ||
może wyjątkowo patologiczne zachowanie funkcji, jak nieskończona liczba ekstremów lub punktów nieciągłości | może wyjątkowo patologiczne zachowanie funkcji, jak nieskończona liczba ekstremów lub punktów nieciągłości | ||
w skończonym przedziale. Podobnie wygląda sytuacja dla szeregów Fouriera.</ref>. | w skończonym przedziale. Podobnie wygląda sytuacja dla szeregów Fouriera.</ref>. | ||
− | + | --> | |
===Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera=== | ===Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera=== | ||
Linia 88: | Linia 89: | ||
</math> | </math> | ||
− | Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego | + | Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego |
− | + | {| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" | |
− | : <math>\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d g(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b g(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} g(x,y)\, | + | | |
− | + | |- | |
− | + | | ''Niech <math>g:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}</math> — funkcja ciągła. Wówczas'' | |
+ | : <math>\displaystyle \int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d g(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b g(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} g(x,y)\,dx dy</math>. | ||
+ | |} | ||
===Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera=== | ===Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera=== | ||
− | Szczególna postać wzorów | + | Szczególna postać wzorów '''(FT)''' i '''(IFT)''' |
wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu: | wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu: | ||
− | <math>f = \frac{1}{T}</math> (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku | + | <math>f = \frac{1}{T}</math> (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku — we wzorze na transformatę odwrotną '''(IFT)''' |
− | lub we wzorze | + | lub we wzorze '''(FT)'''. Z kolei przyjęcie częstości kołowej <math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math> |
(w radianach) przenosi czynnik <math>2\pi</math> (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę. | (w radianach) przenosi czynnik <math>2\pi</math> (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę. | ||
Stąd różnorodność możliwych par wzorów: | Stąd różnorodność możliwych par wzorów: | ||
Linia 136: | Linia 139: | ||
Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację | Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację | ||
− | + | '''(FT)''' i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną | |
− | + | '''(IFT)'''; ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu | |
<math>\omega</math> jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja | <math>\omega</math> jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja | ||
ujemnego wykładnika we wzorze na transformację. | ujemnego wykładnika we wzorze na transformację. | ||
===Symetrie i własności Transformaty Fouriera=== | ===Symetrie i własności Transformaty Fouriera=== | ||
+ | |||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
!''jeśli sygnał <math>s(t)</math> jest<math>\ldots</math>'' | !''jeśli sygnał <math>s(t)</math> jest<math>\ldots</math>'' | ||
− | !''to'' <math> | + | !''to'' <math>ℱ s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots</math> |
|- | |- | ||
| parzysty (<math>s(t)=s(-t)</math>) | | parzysty (<math>s(t)=s(-t)</math>) | ||
Linia 172: | Linia 176: | ||
|rzeczywista i nieparzysta | |rzeczywista i nieparzysta | ||
|- | |- | ||
− | |+<figure id="24"> ''Symetrie transformat Fouriera''</figure> | + | |+<figure id="24"> ''Symetrie transformat Fouriera, <math>\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f</math>''</figure> |
|} | |} | ||
Linia 179: | Linia 183: | ||
|- | |- | ||
| skalowanie w czasie: | | skalowanie w czasie: | ||
− | | <math>s(a t)</math> & <math>\stackrel{ | + | | <math>s(a t)</math> & <math>\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}</math> <math>\frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})</math> |
|- | |- | ||
| skalowanie w częstości: | | skalowanie w częstości: | ||
− | | <math>\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})</math> | + | | <math>\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})</math> <math>\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}</math> <math>\hat{s}(a f)</math> |
|- | |- | ||
− | | przesunięcie w czasie: | + | | [[Filtry#Liniowe_i_nieliniowe_op.C3.B3.C5.BAnienie_fazy.2C_op.C3.B3.C5.BAnienie_grupowe|przesunięcie w czasie]]: |
− | | <math>s(t - t_0)</math> | + | | <math>s(t - t_0)</math> <math>\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}</math> <math>\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}</math> |
|- | |- | ||
| przesunięcie w częstości: | | przesunięcie w częstości: | ||
− | | <math>s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}</math> | + | | <math>s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}</math> <math>\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}</math> <math>\hat{s}(f - f_0)</math> |
|- | |- | ||
|+<figure id="25">''Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera''</figure> | |+<figure id="25">''Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera''</figure> | ||
|} | |} | ||
− | Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z | + | |
− | < | + | |
+ | |||
+ | Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z równań '''(FT)''' i '''(IFT)''', np.: | ||
+ | |||
+ | <math> \mathbf{(FT)} \qquad | ||
+ | \displaystyle | ||
+ | ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \displaystyle | ||
+ | ℱ\left( s(t-t_0) \right)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t-t_0)e^{i \omega (t-t_0)} d t = | ||
+ | e^{-i \omega t_0} \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
<!-- | <!-- | ||
Linia 219: | Linia 239: | ||
zbiór <math>\left\{e^{ik\omega}\right\}_{k\in\mathbb{Z}}</math> jest | zbiór <math>\left\{e^{ik\omega}\right\}_{k\in\mathbb{Z}}</math> jest | ||
ortonormalną bazą <math>L^2([0,2\pi])</math>. | ortonormalną bazą <math>L^2([0,2\pi])</math>. | ||
− | |||
--> | --> | ||
− | -- | + | <div align="right"> |
− | + | [[Szereg_Fouriera|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] [[FT-intuicja|⮕]] | |
− | < | + | </div> |
Aktualna wersja na dzień 08:05, 18 paź 2024
Spis treści
⬆ Przekształcenie Fouriera
A jeśli sygnał nie jest ściśle okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości [math]\forall t \, s(t + T) = s(t)[/math]?
Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: [math]T\rightarrow\infty[/math]. Wtedy odstęp [math]\left(\frac{2\pi}{T}\right)[/math] między częstościami kolejnych elementów sumy z wyprowadzonego w poprzednim rozdziale wzoru na szereg Fouriera
[math]
\displaystyle s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n},
[/math]
dąży do [math]0[/math] i suma przechodzi w całkę
[math]
\mathbf{(IFT)} \qquad \displaystyle s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f
[/math]
funkcja [math]\hat{s}(f)[/math], zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera
[math]\displaystyle
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t
[/math]
to transformata Fouriera sygnału [math]s(t)[/math], czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera [math]ℱ[/math].
Transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości — jak widać ze wzoru (IFT), jest to operacja odwracalna.
Moduł transformaty Fouriera dla danej częstości [math]f[/math] opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał.
Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera
[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}( f ) |^2 d f [/math]
Dowód:
[math]\displaystyle
\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \overline{s(t)} dt =
\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} e^{i 2\pi t f} d f \right) dt =
[/math]
[math]\displaystyle
= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi t f} d t \right) df =
\int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \hat{s}(f) d f = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}(f) |^2 d f
[/math]
Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego
Niech [math]g:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}[/math] — funkcja ciągła. Wówczas
|
Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera
Szczególna postać wzorów (FT) i (IFT) wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu: [math]f = \frac{1}{T}[/math] (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku — we wzorze na transformatę odwrotną (IFT) lub we wzorze (FT). Z kolei przyjęcie częstości kołowej [math]\omega = \frac{2\pi}{T}[/math] (w radianach) przenosi czynnik [math]2\pi[/math] (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę. Stąd różnorodność możliwych par wzorów:
[math]
s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f \rightarrow
\hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t
[/math]
[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i 2\pi f t} d t [/math]
[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]
[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]
[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]
[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]
Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację (FT) i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną (IFT); ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu [math]\omega[/math] jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.
Symetrie i własności Transformaty Fouriera
jeśli sygnał [math]s(t)[/math] jest[math]\ldots[/math] | to [math]ℱ s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots[/math] |
---|---|
parzysty ([math]s(t)=s(-t)[/math]) | parzysta |
nieparzysty ([math]s(t)=-s(-t)[/math]) | nieparzysta |
rzeczywisty | [math] \hat{s}(-\omega) = \overline{\hat{s}(\omega})[/math] |
urojony | [math]\hat{s}(-\omega) = -\overline{\hat{s}(\omega})[/math] |
rzeczywisty i parzysty | rzeczywista i parzysta |
rzeczywisty i nieparzysty | urojona i nieparzysta |
urojony i parzysty | urojona i parzysta |
urojony i nieparzysty | rzeczywista i nieparzysta |
skalowanie w czasie: | [math]s(a t)[/math] & [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})[/math] |
skalowanie w częstości: | [math]\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})[/math] [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\hat{s}(a f)[/math] |
przesunięcie w czasie: | [math]s(t - t_0)[/math] [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}[/math] |
przesunięcie w częstości: | [math]s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}[/math] [math]\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}[/math] [math]\hat{s}(f - f_0)[/math] |
Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z równań (FT) i (IFT), np.:
[math] \mathbf{(FT)} \qquad \displaystyle ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]
[math]
\displaystyle
ℱ\left( s(t-t_0) \right)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t-t_0)e^{i \omega (t-t_0)} d t =
e^{-i \omega t_0} \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t
[/math]