Przekształcenie Fouriera

⬆ Przekształcenie Fouriera

A jeśli sygnał nie jest ściśle okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości [math]\forall t \, s(t + T) = s(t)[/math]?

Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: [math]T\rightarrow\infty[/math]. Wtedy odstęp [math]\left(\frac{2\pi}{T}\right)[/math] między częstościami kolejnych elementów sumy z wyprowadzonego w poprzednim rozdziale wzoru na szereg Fouriera

[math] \displaystyle s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n}, [/math]

dąży do [math]0[/math] i suma przechodzi w całkę

[math] \mathbf{(IFT)} \qquad \displaystyle s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f [/math]

funkcja [math]\hat{s}(f)[/math], zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera

[math]\displaystyle c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t [/math]

to transformata Fouriera sygnału [math]s(t)[/math], czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera [math]\mathcal{F}[/math].

[math] \mathbf{(FT)} \qquad \displaystyle \mathcal{F}\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]

Transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości — jak widać ze wzoru (IFT), jest to operacja odwracalna.

Moduł transformaty Fouriera dla danej częstości [math]f[/math] opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał.

Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera

[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}( f ) |^2 d f [/math]

Dowód:

[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \overline{s(t)} dt = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} e^{i 2\pi t f} d f \right) dt = [/math]

[math]\displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi t f} d t \right) df = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \hat{s}(f) d f = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}(f) |^2 d f [/math]

Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego:

Niech [math]g:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}[/math] — funkcja ciągła. Wówczas

[math]\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d g(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b g(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} g(x,y)\,d(x,y)[/math].

Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera

Szczególna postać wzorów (FT) i (IFT) wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu: [math]f = \frac{1}{T}[/math] (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku — we wzorze na transformatę odwrotną (IFT) lub we wzorze (FT). Z kolei przyjęcie częstości kołowej [math]\omega = \frac{2\pi}{T}[/math] (w radianach) przenosi czynnik [math]2\pi[/math] (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę. Stąd różnorodność możliwych par wzorów:

[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]

[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i 2\pi f t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]

Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację (FT) i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną (IFT); ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu [math]\omega[/math] jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.

Symetrie i własności Transformaty Fouriera

Symetrie transformat Fouriera

jeśli sygnał [math]s(t)[/math] jest[math]\ldots[/math]	to [math]\mathcal{F} s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots[/math]
parzysty ([math]s(t)=s(-t)[/math])	parzysta
nieparzysty ([math]s(t)=-s(-t)[/math])	nieparzysta
rzeczywisty	[math] \hat{s}(-\omega) = \overline{\hat{s}(\omega})[/math]
urojony	[math]\hat{s}(-\omega) = -\overline{\hat{s}(\omega})[/math]
rzeczywisty i parzysty	rzeczywista i parzysta
rzeczywisty i nieparzysty	urojona i nieparzysta
urojony i parzysty	urojona i parzysta
urojony i nieparzysty	rzeczywista i nieparzysta

Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera

skalowanie w czasie:	[math]s(a t)[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})[/math]
skalowanie w częstości:	[math]\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\hat{s}(a f)[/math]
przesunięcie w czasie:	[math]s(t - t_0)[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}[/math]
przesunięcie w częstości:	[math]s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\hat{s}(f - f_0)[/math]

Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z równań (FT) i (IFT).

⬅ ⬆ ⮕