Zasada nieoznaczoności

AS/ Zasada nieoznaczoności

Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) w mechanice kwantowej nie opisuje granic dokładności pomiarów, lecz fakt, że cząstka "nie może jednocześnie" mieć dobrze określonych np. pędu i położenia: [math]\Delta x \Delta p_x \geq h/2\pi[/math], gdzie [math]\Delta[/math] odpowiada wariancji rozkładu prawdopodobieństwa wokół średniej. Podobnie w analizie sygnałów.

Zasada nieoznaczoności czas-częstość

Iloczyn wariancji w czasie [math]\sigma_t^2[/math] i w częstości kołowej [math]\sigma_\omega^2[/math] dla funkcji [math]s\in L^2(\mathbb{R})[/math] jest nie mniejszy niż [math]\frac{1}{4}[/math]

[math] \sigma^2_t \sigma^2_\omega \ge \frac{1}{4} [/math]

gdzie:

[math] \sigma^2_t = \frac{1}{\|s(t)\|^2} \int_{-\infty}^{\infty}(t-u)^2|s(t)|^2 dt [/math] [math] \sigma^2_\omega = \frac{1}{2\pi \|s(t)\|^2} \int_{-\infty}^{\infty}(\omega-\xi)^2|\hat{s}(\omega)|^2 d\omega [/math]

gdzie:

[math] u = \frac{1}{\|s(t)\|^2} \int_{-\infty}^{\infty} t |s(t)|^2 dt [/math] [math] \xi = \frac{1}{2\pi\|s(t)\|^2} \int_{-\infty}^{\infty} \omega |\hat{s}(\omega)|^2 d\omega [/math]

Dla częstości [math]f=\frac{1}{T}[/math] mamy

[math] \sigma^2_t \sigma^2_f \ge \frac{1}{16\pi^2} [/math]

Długi sinus (na górze) ma dobrze określoną częstość, ale nie możemy wiele powiedzieć o jego położeniu w czasie (ciągła linia). Gdy zawężamy (określamy) przedział czasu, w którym sygnał występuje (dolne wykresy), coraz trudniej mówić o częstości