Funkcja systemu: Różnice pomiędzy wersjami
Z Brain-wiki
| Linia 20: | Linia 20: | ||
Systemy liniowe niezmiennicze w czasie dają się opisać z pomocą | Systemy liniowe niezmiennicze w czasie dają się opisać z pomocą | ||
liniowych równań różnicowych o stałych współczynnikach: | liniowych równań różnicowych o stałych współczynnikach: | ||
| − | + | :<math> | |
| − | <math> | ||
\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] | \sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] | ||
</math> | </math> | ||
| − | |||
| − | Zastosujmy do obu stron równania | + | |
| − | + | Zastosujmy do obu stron powyższego równania transformatę Z: | |
| − | <math>\ | + | :<math> |
| − | + | \mathcal{Z}\left\{\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] \right\} = \mathcal{Z}\left\{ \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] \right\} | |
| − | \sum_{k=0}^K a_k Z\left\{ y[n-k]\right\} = \sum_{l=0}^L b_l Z \left\{x[n-l]\right\} | + | </math> |
| − | \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} Y(z) = \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} X(z) | + | |
| − | Y(z) \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} = X(z) \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} | + | :<math> |
| − | + | \sum_{k=0}^K a_k \mathcal{Z}\left\{ y[n-k]\right\} = \sum_{l=0}^L b_l \mathcal{Z} \left\{x[n-l]\right\} | |
| − | + | </math> | |
| + | |||
| + | :<math> | ||
| + | \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} Y(z) = \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} X(z) | ||
| + | </math> | ||
| + | :<math> | ||
| + | Y(z) \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} = X(z) \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
Dostajemy: | Dostajemy: | ||
Wersja z 13:31, 25 paź 2015
AS/ Funkcja systemu
Transformata Z
definiowana jest jako szereg
- [math]\mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z)= \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.[/math]
Dla [math]z=e^{i \omega}[/math] dostajemy Dyskretną Tranformatę Fouriera, ale tutaj przyjmujemy ogólną postać.
Transformata [math]\mathcal{Z}[/math] jest liniowa
- [math]\mathcal{Z}\lbrace a x[n] + b y[n]\rbrace =a X[z] + b Y[z][/math]
a dla przesunięcia w czasie
- [math]\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = z^{-k}X(z)[/math]
Funkcja systemu
Systemy liniowe niezmiennicze w czasie dają się opisać z pomocą liniowych równań różnicowych o stałych współczynnikach:
- [math] \sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] [/math]
Zastosujmy do obu stron powyższego równania transformatę Z:
- [math] \mathcal{Z}\left\{\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] \right\} = \mathcal{Z}\left\{ \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] \right\} [/math]
- [math] \sum_{k=0}^K a_k \mathcal{Z}\left\{ y[n-k]\right\} = \sum_{l=0}^L b_l \mathcal{Z} \left\{x[n-l]\right\} [/math]
- [math] \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} Y(z) = \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} X(z) [/math]
- [math] Y(z) \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} = X(z) \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} [/math]
Dostajemy:
[math]
\frac{Y(z)}{X(z)} \equiv H(z) = \frac{\sum_{l=0}^L b_l z^{-l}}{\sum_{k=0}^K a_k z^{-k}}
[/math]
lub
[math] H(z) = \mathrm{const} \frac {\prod_{l=0}^L \left(1-\frac{d_l}{z}\right) } {\prod_{k=0}^K \left(1-\frac{c_k}{z}\right) } [/math]
[math]H(z)[/math] — funkcja systemu (system function) .
