Z Brain-wiki
Skocz do: nawigacja, szukaj

AS/ Funkcja systemu

Transformata Z

Jednostronna transformata \mathcal{Z} ciągu liczb x[n] definiowana jest jako funkcja zmiennej z będąca sumą szeregu

\mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z)= \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

Dla z=e^{i \omega} dostajemy Dyskretną Transformatę Fouriera.

Transformata \mathcal{Z} jest liniowa

\mathcal{Z}\lbrace a x[n] + b y[n]\rbrace =a X[z] + b Y[z]

a dla przesunięcia w czasie

\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace  = z^{-k}X(z)

Dowód:

\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k] z^{-n}
 | j=n-k|
 = \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-(j+k)} = \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-j}z^{-k}} = z^{-k} \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-j}}

dla systemów przyczynowych x[j] są niezerowe dla j>0 (por. LTI/Splot i przyczynowość)


więc

\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = z^{-k} \sum_{j=0}^{\infty} x[j] z^{-j}}


Splot:

x[n]=x_1[n]*x_2[n] \longleftrightarrow \mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z) = \mathcal{Z}\{x_1[n]\} \mathcal{Z}\{x_2[n]\} = X_1(z)  X_2(z)


 \mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} = X(z) =


 \sum_{n=-\infty}^\infty\left[\sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)x_2(n-k)\right]z^{-n}
= \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)\left[\sum_{n=-\infty}^\infty x_2(n-k)z^{-n}\right]
= \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)\left[\sum_{n = -\infty}^\infty x_2(n-k)z^{-(n-k)}z^{-k}\right]


niech n-k = l

 X(z) = \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)\left[z^{-k}\sum_{l=-\infty}^\infty x_2(l)z^{-l}\right]
= \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k) z^{-k} X_2(z)
=  X_1(z) X_2(z)


Widmo procesu AR

x[n] = \sum_{i=1}^M a_i x[n-i] + \epsilon[n]

lub prościej

\sum_{i=0}^M a_i x[n-i] = \epsilon[n]

biorąc transformatę Z obu stron

\mathcal{Z}\left\{\sum_{i=0}^M a_i x[n-i] \right\}  = \mathcal{Z}\left\{ \epsilon[n] \right\}

dostajemy

A(z) X(z) = E(z)

X(z) = A^{-1}(z) E(z)

oznaczając A^{-1}(z) = H(z) dostajemy

X(z) = H(z) E(z)

podstawiając z=e^{i\omega t} przechodzimy z transformaty \mathcal{Z} do transformaty Fouriera:

\hat{x}(\omega) = H(\omega) E(\omega)

widmo to kwadrat modułu transformaty Fouriera

\left| \hat{x}(\omega) \right|^2 = \left| H(\omega) E(\omega)  \right|^2 =  \left| H(\omega) \right|^2 \sigma^2 =  \dfrac{\sigma^2}\left| {A(e^{-i\omega n})} \right|^2

gdzie \sigma^2 to wariancja nieskorelowanego szumu \epsilon, którego widmo jest płaskie (nie zależy od częstości)


Procesy ARMA

\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l]

Jest to ogólna postać procesu ARMA -- autoregressive moving average.


Dla L=0 dostajemy proces AR (autoregressive), w którym sygnał na wyjściu y zależy tylko od K poprzednich próbek wyjścia y.


Kładąc K=0 dostajemy proces MA (moving average), w którym sygnał na wyjściu y zależy tylko od L poprzednich próbek wejścia x.

Funkcja systemu

Zastosujmy do obu stron powyższego równania transformatę\mathcal{Z}:

\mathcal{Z}\left\{\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] \right\}  = \mathcal{Z}\left\{ \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] \right\}
\sum_{k=0}^K a_k \mathcal{Z}\left\{ y[n-k]\right\} = \sum_{l=0}^L b_l \mathcal{Z} \left\{x[n-l]\right\}
\sum_{k=0}^K a_k z^{-k} Y(z) = \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} X(z)
Y(z) \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} = X(z) \sum_{l=0}^L b_l z^{-l}


Dla systemu przyczynowego dostajemy:


\frac{Y(z)}{X(z)} \equiv H(z) = \frac{\sum_{l=0}^L b_l z^{-l}}{\sum_{k=0}^K a_k z^{-k}}


H(z) — funkcja systemu (system function) pozwala spójnie przedstawić działanie systemu LTI/ARMA realizującego filtrowanie sygnału x:

Y(z)=H(z) X(z)




Filtry

Działanie filtru w dziedzinie czasu, typy filtrów

Przypomnijmy definicję splotu: (f * g)[n] = \sum_{m = -\infty}^{\infty} f[m] g[n - m]


FIR (MA)

Działanie filtru zadanego przez odpowiedź impulsową b o długości n_b na sygnał x można zapisać:

y(n) = (b*x)[n] =b[0]*x[n] + b[1]*x[n-1] + \dots + b[n_b]*x[n-n_b]

Taki filtr nazywamy filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej (Finite Impulse Responce, FIR), bo odpowiedź na impulsowe wzbudzenie kończy się po n_b próbkach. Inna nazwa to średnia biegnąca (Moving Average, MA).

Dla filtrów FIR współczynniki filtru i odpowiedź impulsowa są takie same.

Jeśli współczynniki tworzą sekwencję symetryczną bądź antysymetryczną, oparty na nich filtr FIR będzie liniowo przesuwał fazę filtrowanego sygnału (linear phase filter) -- sygnał filtrowany jest przesunięty w czasie o ok. n_b / 2.


IIR (AR)

Operacja splotu działa tu na sekwencji wyjściowej:

y[n] = x[n] - a[1]*y[n-1] - \dots - a[n_a]*y[n-n_a]

Filtr ten nazywany jest filtr rekursywnym lub autoregresyjnym (AR). W ogólności jego odpowiedź impulsowa może być nieskończona. Faza filtrowanego sygnału zaburzana jest nieliniowo (nonlinear phase filter)


IIR (ARMA)

Najbardziej ogólnym typem jest połączenie dwóch powyższych czyli:

\begin{array}{ll}y[n] = b[0]*x[n] &+ b[1]*x[n-1] + \dots + b[n_b]*x[n-n_b]\\&- a[1]*y[n-1] - \dots - a[n_a]*y[n-n_a]\end{array}

Tą wersję filtru nazywamy filtrem o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (Infinite Impulse Response IIR) bo potencjalnie raz wzbudzony może dowolnie długo produkować niezerowe wyjście.

Rzędem filtru nazywamy maksymane opóźnienie w próbkach potrzebne do wytworzenia nowej próbki wyjściowej. Dla filtrów FIR jest on równy liczbie  n_b. Dla filtrów IIR jest to większa z liczb n_a, n_b.

Działanie filtru w dziedzinie częstości

Stosując transformatę Z (analogicznie jak dla procesu AR) możemy równanie z dziedziny czasu przenieść do dziedziny częstości. Filtrowanie odpowiada przemnożeniu transformaty sygnału przez transformatę funkcji przenoszenia filtru:

Y[z]=H[z]X[z]=\frac{b[0]+b[1]z^{-1}+\dots +b[n_b]z^{-n_b}}{a[0]+a[1]z^{-1}+\dots +a[n_a]z^{-n_a}}X[z]

Występująca tu funkcja H nosi nazwę transmitancja lub funkcja przenoszenia. Znając funkcję H łatwo możemy przewidzieć co się stanie z widmem sygnału po przefiltrowaniu. Weźmy  z = e^{i 2\pi  f}. Wówczas transmitancja jest funkcją częstości f. Dla każdej konkretnej częstości f_k przypisuje ona liczbę zespoloną, którą można wyrazić jako A_k e^{i \phi_k}. W dziedzinie częstości sygnał wyrażony jest przez współczynniki Fourierowskie. Dla konkretnej częstości współczynnik taki X_k = |X_k| e^{i \theta_k} (liczba zespolona) mówi z jaką amplitudą i jaką fazą exponens zespolony o danej częstości (z_k = e^{i 2\pi  f_k}) wchodzi w skład sygnału.


Zatem działanie filtru na sygnał w dziedzinie częstości polega na przemnożeniu składowej sygnału o częstości f_k przez liczbę A_k e^{i \phi_k}:

Y(f_k) = A_k e^{i \phi_k} |X_k| e^{i \theta_k} z_k = A_k |X_k| e^{i ( \phi_k +\theta_k)}  e^{i 2\pi  f_k}

Zatem w wyniku filtrowania składowa sygnału o danej częstości może zmienić amplitudę i fazę ale co warto zauważyć nie zmienia częstości.

Zera i bieguny filtra to odpowiednio miejsca zerowe licznika i mianownika funkcji przenoszenia.


Wielozmienny model AR

Model AR opisuje wartość sygnału w chwili t jako kombinację liniową jego wartości w chwilach poprzednich (oraz szumu). W przypadku wielowymiarowym możemy włączyć do tego opisu wartości wszystkich sygnałów s_i, czyli wektora \vec{s}(t). Wielozmienny model AR (MVAR, multivariate autoregressive) można wówczas opisać wzorem:

\vec{s}(t)=\sum_{i=1}^p A(i) \vec{s}(t-i) + \vec{\epsilon}(t) ,

gdzie \vec{\epsilon}(t) będzie wektorem szumów, zaś A(i) będą macierzami współczynników modelu. Przechodząc do przestrzeni częstości otrzymamy:

\vec{s}(\omega)=A^{-1}(\omega)\vec{\epsilon}(\omega)=H(\omega)\vec{\epsilon}(\omega),

gdzie H(\omega) jest macierzą przejścia. MVAR jest modelem typu "czarna skrzynka", gdzie na wejściu występują szumy, na wyjściu sygnały, a system jest opisany przez macierz przejścia. Zawiera on informacje o własnościach widmowych sygnałów i związkach między nimi.

Na podstawie macierzy H(\omega) można obliczyć macierz gęstości widmowej zawierającą widma mocy dla pojedynczych kanałów jak również funkcje wzajemnej gęstości mocy pomiędzy kanałami. Stosując tego typu podejście, w którym wszystkie sygnały generowane przez pewien proces są rozpatrywane jednocześnie, można policzyć z macierzy spektralnej nie tylko koherencje zwykłe pomiędzy dwoma kanałami, ale również koherencje wielorakie opisujące związek danego kanału z pozostałymi i koherencje cząstkowe opisujące bezpośrednie związki między dwoma kanałami po usunięciu wpływu pozostałych kanałów. W przypadku gdy pewien kanał 1 będzie wpływał na kanały 2 i 3, obliczając koherencję zwykłą znajdziemy związek między 2 oraz 3, chociaż nie są one ze sobą bezpośrednio powiązane, natomiast koherencja cząstkowa nie wykaże związku między nimi.

Macierz H(\omega) jest niesymetryczna, a jej wyrazy pozadiagonalne mają sens przyczynowości Grangera, co oznacza, że uwzględnienie wcześniejszej informacji zawartej w jednym z sygnałów zmniejsza błąd predykcji drugiego sygnału. Opierając się na tej własności zdefiniowano Kierunkową Funkcję Przejścia (DTF, directed transfer function) jako znormalizowany element pozadiagonalny H(\omega). DTF opisuje kierunek propagacji i skład widmowy rozchodzących się sygnałów.

Otrzymamy w ten sposób całościowy opis zmian wszystkich sygnałów jednocześnie. Co ciekawe, obliczona na tej podstawie funkcja charakteryzująca zależności między sygnałami s_i (funkcja przejścia) nie jest symetryczna, w przeciwieństwie do np. korelacji. Dzięki temu może służyć wnioskowaniu nie tylko o sile zależności między poszczególnymi sygnałami składowymi, ale też o kierunku przepływu informacji między nimi. W przybliżeniu odpowiada to informacji, w którym z sygnałów struktury odpowiadające danej częstości pojawiają się wcześniej.