Funkcja systemu: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
Linia 69: Linia 69:
 
:<math>Y(z)=H(z) X(z)</math>
 
:<math>Y(z)=H(z) X(z)</math>
  
<!--
 
Jeśli <math>H(z)</math> ma tylko licznik (średnia biegnąca MA), to w dziedzinie czasu filtrowanie będzie po prostu splotem z funkcją odpowiedzi impul
 
-->
 
  
 
 
----
 
  
 
<references/>
 
<references/>

Wersja z 13:59, 25 paź 2015

AS/ Funkcja systemu

Transformata Z

definiowana jest jako szereg

[math]\mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z)= \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.[/math]

Dla [math]z=e^{i \omega}[/math] dostajemy Dyskretną Tranformatę Fouriera, ale tutaj przyjmujemy ogólną postać.


Transformata [math]\mathcal{Z}[/math] jest liniowa

[math]\mathcal{Z}\lbrace a x[n] + b y[n]\rbrace =a X[z] + b Y[z][/math]

a dla przesunięcia w czasie

[math]\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = z^{-k}X(z)[/math]

Procesy ARMA

Systemy liniowe niezmiennicze w czasie dają się opisać z pomocą liniowych równań różnicowych o stałych współczynnikach:

[math] \sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] [/math]

Jest to ogólna postać procesu ARMA -- autoregressive moving average.

Kładąc [math]K=0[/math] dostajemy proces MA (moving average), w którym sygnał na wyjściu [math]y[/math] zależy tylko od [math]L[/math] poprzednich próbek wejścia [math]x[/math].

Dla [math]L=0[/math] dostajemy proces AR (autoregressive), w którym sygnał na wyjściu [math]y[/math] zależy tylko od [math]K[/math] poprzednich próbek wyjścia [math]y[/math].

Funkcja systemu

Zastosujmy do obu stron powyższego równania transformatę[math]\mathcal{Z}[/math]:

[math] \mathcal{Z}\left\{\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] \right\} = \mathcal{Z}\left\{ \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] \right\} [/math]
[math] \sum_{k=0}^K a_k \mathcal{Z}\left\{ y[n-k]\right\} = \sum_{l=0}^L b_l \mathcal{Z} \left\{x[n-l]\right\} [/math]
[math] \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} Y(z) = \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} X(z) [/math]
[math] Y(z) \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} = X(z) \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} [/math]


Dostajemy:


[math] \frac{Y(z)}{X(z)} \equiv H(z) = \frac{\sum_{l=0}^L b_l z^{-l}}{\sum_{k=0}^K a_k z^{-k}} [/math]

lub

[math] H(z) = \mathrm{const} \frac {\prod_{l=0}^L \left(1-\frac{d_l}{z}\right) } {\prod_{k=0}^K \left(1-\frac{c_k}{z}\right) } . [/math]

[math]H(z)[/math] — funkcja systemu (system function) pozwala spójnie przedstawić działanie systemu LTI/ARMA realizującego filtrowanie sygnału [math]x[/math]:

[math]Y(z)=H(z) X(z)[/math]