Funkcja systemu: Różnice pomiędzy wersjami
| Linia 30: | Linia 30: | ||
:<math>\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = z^{-k} \sum_{j=0}^{\infty} x[j] z^{-j}}</math> | :<math>\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = z^{-k} \sum_{j=0}^{\infty} x[j] z^{-j}}</math> | ||
| + | |||
==Procesy ARMA== | ==Procesy ARMA== | ||
| Linia 40: | Linia 41: | ||
Jest to ogólna postać procesu ARMA -- autoregressive moving average. | Jest to ogólna postać procesu ARMA -- autoregressive moving average. | ||
| − | |||
Dla <math>L=0</math> dostajemy proces AR (autoregressive), w którym sygnał na wyjściu <math>y</math> zależy tylko od <math>K</math> poprzednich próbek wyjścia <math>y</math>. | Dla <math>L=0</math> dostajemy proces AR (autoregressive), w którym sygnał na wyjściu <math>y</math> zależy tylko od <math>K</math> poprzednich próbek wyjścia <math>y</math>. | ||
| + | <!-- | ||
| + | |||
| + | <math> | ||
| + | s[n] = \sum_{i=1}^M a_i s[n-i] + \epsilon[n] | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | zapiszmy jako | ||
| + | |||
| + | <math> | ||
| + | \sum_{i=0}^M a_i s[n-i] = \epsilon[n] | ||
| + | </math> | ||
| + | --> | ||
| + | Kładąc <math>K=0</math> dostajemy proces MA (moving average), w którym sygnał na wyjściu <math>y</math> zależy tylko od <math>L</math> poprzednich próbek wejścia <math>x</math>. | ||
<!-- | <!-- | ||
Wersja z 19:05, 17 lis 2016
AS/ Funkcja systemu
Transformata Z
definiowana jest jako szereg
- [math]\mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z)= \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.[/math]
Dla [math]z=e^{i \omega}[/math] dostajemy Dyskretną Tranformatę Fouriera.
Transformata [math]\mathcal{Z}[/math] jest liniowa
- [math]\mathcal{Z}\lbrace a x[n] + b y[n]\rbrace =a X[z] + b Y[z][/math]
a dla przesunięcia w czasie
- [math]\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = z^{-k}X(z)[/math]
Dowód:
- [math]\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k] z^{-n} [/math]
- [math] | j=n-k|[/math]
- [math] = \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-(j+k)} = \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-j}z^{-k}} = z^{-k} \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-j}} [/math]
dla systemów przyczynowych [math]x[j][/math] są niezerowe dla [math]j\lt 0[/math], więc
- [math]\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = z^{-k} \sum_{j=0}^{\infty} x[j] z^{-j}}[/math]
Procesy ARMA
Przykładem systemów liniowych niezmienniczych w czasie są systemy opisane równaniem
- [math] \sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] [/math]
Jest to ogólna postać procesu ARMA -- autoregressive moving average.
Dla [math]L=0[/math] dostajemy proces AR (autoregressive), w którym sygnał na wyjściu [math]y[/math] zależy tylko od [math]K[/math] poprzednich próbek wyjścia [math]y[/math].
Kładąc [math]K=0[/math] dostajemy proces MA (moving average), w którym sygnał na wyjściu [math]y[/math] zależy tylko od [math]L[/math] poprzednich próbek wejścia [math]x[/math].
Funkcja systemu
Zastosujmy do obu stron powyższego równania transformatę[math]\mathcal{Z}[/math]:
- [math] \mathcal{Z}\left\{\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] \right\} = \mathcal{Z}\left\{ \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] \right\} [/math]
- [math] \sum_{k=0}^K a_k \mathcal{Z}\left\{ y[n-k]\right\} = \sum_{l=0}^L b_l \mathcal{Z} \left\{x[n-l]\right\} [/math]
- [math] \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} Y(z) = \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} X(z) [/math]
- [math] Y(z) \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} = X(z) \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} [/math]
Dostajemy:
- [math] \frac{Y(z)}{X(z)} \equiv H(z) = \frac{\sum_{l=0}^L b_l z^{-l}}{\sum_{k=0}^K a_k z^{-k}} [/math]
lub
- [math] H(z) = \mathrm{const} \frac {\prod_{l=0}^L \left(1-\frac{d_l}{z}\right) } {\prod_{k=0}^K \left(1-\frac{c_k}{z}\right) } . [/math]
[math]H(z)[/math] — funkcja systemu (system function) pozwala spójnie przedstawić działanie systemu LTI/ARMA realizującego filtrowanie sygnału [math]x[/math]:
- [math]Y(z)=H(z) X(z)[/math]
