WnioskowanieStatystyczne/CLT: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 151 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
  
==Centralne Twierdzenie Graniczne==
+
[[Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład]]
  
Rozkład Gaussa pełni w statystyce bardzo znaczącą rolę ze względu na
+
==Rozkład Gaussa==
''Centralne Twierdzenie Graniczne'' , według którego rozkład sumy
+
 
dużej liczby zmiennych losowych o podobnych wielkościach <ref>Chodzi o
+
Rozkład Gaussa (zwany też rozkładem normalnym lub krzywą dzwonową) zależy od
to, aby żadna ze zmiennych w tej sumie nie dominowała nad
+
parametrów <math>\mu</math> i <math>\sigma</math>. Jego gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem:
innymi.</ref> dąży (przy liczbie sumowanych zmiennych dążących do
+
 
nieskończoności) do rozkładu Gaussa. Poniżej przytoczymy dowód tego
+
<center><math display="block">
twierdzenia dla uproszczonego przypadku sumy zmiennych pochodzących z
+
p(x)=N(\mu, \sigma)= \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}.
tego samego rozkładu.<ref>Dokładniejsze sformułowania Twierdzenia
+
</math></center>
można znaleźć w [http://www.wnt.com.pl/product.php?action=0&prod_id=1488&hot=1 książce "Probabilistyka. Rachunek Prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne" Agnieszki i Edmunda Plucińskich].</ref>
+
 
 +
Parametry te są tak dobrane, że wartość oczekiwana wynosi
 +
<math>\mu</math>, a wariancja <math>\sigma^2</math>.
 +
 
 +
[[Plik:Rozklad_gaussa.png|600px|thumb|left|<math>N(0,1)</math>, czyli
 +
standardowy rozkład Gaussa o zerowej średniej (<math>\mu=0</math>) i
 +
jednostkowej wariancji (<math>\sigma=1</math>).]]
 +
 
 +
Rozkład Gaussa dla zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej
 +
wariancji (<math>\mu=0, \sigma^2=1</math>) zwiemy
 +
''standardowym rozkładem Gaussa''
 +
i oznaczamy zwykle <math>N(0,1)</math>.
 +
Na wykresie zaznaczono na nim m. in. wartość całki od <math>-\infty</math> do
 +
<math>-1</math>, czyli prawdopodobieństwo, że wylosowana z tego
 +
rozkładu liczba będzie mniejsza niż <math>-1</math>. Jak widać, wynosi
 +
ono ok. 16%, a jeśli weźmiemy pod uwagę również wartości większe od 1,
 +
będzie to aż 32%! Oznacza to, że przy losowaniu wielu liczb z tego
 +
rozkładu niemal 1/3 wyników może znaleźć się w odległości
 +
większej niż <math>\sigma</math> od wartości oczekiwanej.
 +
 
 +
<equation id="eq:80">
 +
<math>
 +
x\in N(\mu,\sigma)\quad \Rightarrow \quad
 +
\begin{cases}
 +
P(\left| x-\mu \right| \geq \sigma )\approx 0,\!317,\\
 +
P(\left| x-\mu \right| \geq 2\sigma )\ \approx 0,\!046,\\
 +
\ P(\left| x-\mu \right| \geq 3\sigma )\approx 0,\!003.
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
</equation>
 +
 
 +
<!-- Gęstość prawdopodobieństwa dana równaniem
 +
<xr id="eq:78">(%i)</xr> zanika w nieskończoności tylko
 +
asymptotycznie, i dlatego w świetle tego rozkładu prawdopodobieństwo
 +
wylosowania ''dowolnej'' wartości będzie niezerowe (choć dla
 +
większości niezmiernie małe). Prowadzi to czasem do paradoksów, jak
 +
np. niezerowe prawdopodobieństwo ujemnej masy.<ref>Gaussowski
 +
rozkład pomiarów jakiejkolwiek masy, określony dodatnimi wartościami
 +
<math>\mu</math> i <math>\sigma</math>, będzie wykazywał nieujemne &mdash;
 +
choć zapewne bardzo małe &mdash; prawdopodobieństwo również dla ujemnych
 +
wartości zmiennej losowej, którą w tym przypadku będzie mierzona
 +
masa.</ref> Jest to cena za korzystanie ze zwięzłej i eleganckiej
 +
postaci analitycznej rozkładu. -->
  
===Twierdzenie Lindeberga &mdash; Levy'ego===
 
 
Zakładamy, że <math>x_{i}</math> są niezależnymi zmiennymi
 
podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości
 
oczekiwanej <math>\mu</math> i wariancji <math>\sigma
 
^{2}</math>. Dla <math>n\rightarrow \infty</math>, wielkość
 
  
<equation id="eq:82"> <math>
+
Rozkład Gaussa pełni w statystyce bardzo znaczącą rolę ze względu na ''Centralne Twierdzenie Graniczne'', mówiące o asysmptotycznym rozkładzie sumy dużej liczby niezależnych zmiennych losowych, których rozkłady spełniają pewne warunki. Udowodnimy je w najprostszym przypadku, kiedy wszystkie te zmienne pochodzą z tego samego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa. Na potrzeby tego dowodu musimy najpierw wprowadzić pojęcie funkcji charakterystycznej.
y=\frac{ \left(\sum\limits_{i=1}^{n}
 
x_{i}\right) -n\mu }{\sigma \sqrt{n}}
 
</math> </equation>
 
  
podlega rozkładowi normalnemu o wartości średniej 0 i wariancji 1.
+
<!--
 +
Rozkład Gaussa pełni w statystyce bardzo znaczącą rolę ze względu na
 +
''Centralne Twierdzenie Graniczne'', według którego rozkład zmiennej losowej <math>y</math>, będącej sumą dużej liczby zmiennych losowych <math>x_i</math> (czyli <math>y=\sum_{i=1}^{N} x_i</math>) dąży, przy liczbie sumowanych zmiennych dążących do
 +
nieskończoności (czyli <math>N\rightarrow\infty</math>), do rozkładu Gaussa.
  
 +
Poniżej przytoczymy dowód tego
 +
twierdzenia dla uproszczonego przypadku sumy zmiennych pochodzących z
 +
tego samego rozkładu.<ref>Dokładniejsze sformułowania Twierdzenia
 +
można znaleźć np. w [http://www.wnt.com.pl/product.php?action=0&prod_id=1488&hot=1 książce "Probabilistyka. Rachunek Prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne" Agnieszki i Edmunda Plucińskich].</ref>
 +
-->
  
===Dowód===
+
==Funkcja charakterystyczna rozkładu prawdopodobieństwa==
  
W dowodzie skorzystamy z pojęcia funkcji charakterystycznej
+
Dla zmiennej losowej <math>x</math> jest to wartość oczekiwana wyrażenia <math>e^{itx}</math>, gdzie <math>i=\sqrt{-1}</math>. Dla rozkładów ciągłych jest to [[Przekształcenie_Fouriera|transformata Fouriera]] funkcji gęstości prawdopodobieństwa <math>f(x)</math>:
rozkładu.<ref>W innych dziedzinach funkcja ta występuje pod nazwą
 
transformaty Fouriera.</ref> Określamy ją jako
 
 
<center><math>
 
<center><math>
\phi (t)=E(e^{itx})=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}
+
\phi_x (t)=E(e^{itx})=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}
 
e^{itx}f\left( x\right) dx
 
e^{itx}f\left( x\right) dx
 
</math></center>
 
</math></center>
<!-- lub
+
Użyteczne będą poniższe związki, które wyprowadzić można bezpośrednio z definicji:
<math>\underset{}{\underset{k}{\sum
+
 
}e^{itx}P(x=x_{k}}),
+
====Funkcja charakterystyczna rozkładu sumy zmiennych niezależnych====
 +
Dla ''niezależnych'' zmiennych <math>x</math> i <math>y</math>:
 +
<equation id="eq:85">
 +
<center>
 +
<math>
 +
w=x+y\Rightarrow \phi _{w}(t)
 +
=\phi _{x}\left( t\right) \cdot \phi_{y}(t).
 +
</math>
 +
</center>
 +
</equation>
 +
 
 +
Dowód:
 +
 
 +
<math>
 +
\phi _{w}(t)
 +
= E(e^{it(x+y)})=E(e^{itx}\cdot e^{ity})
 +
= E(e^{itx})\cdot E(e^{ity})=\phi _{x}\left( t\right) \cdot \phi_{y}(t).
 
</math>
 
</math>
-->
 
gdzie <math>i=\sqrt{-1}</math>. Użyteczne będą następujące związki, które wyprowadzić można bezpośrednio z powyższej definicji:
 
  
 +
====Pochodna funkcji charakterystycznej====
 +
Bezpośrednio z definicji (różniczkujemy po <math>dt</math>, więc przy każdym różniczkowaniu spada nam z wykładnika <math>i x</math>, <math>x</math> zostaje pod całką a <math>i</math> jako stała wychodzi przed całkę) widać, że:
 
<equation id="eq:pochodna_funkcji_tworzacej">
 
<equation id="eq:pochodna_funkcji_tworzacej">
 
<center><math>
 
<center><math>
Linia 50: Linia 105:
 
</equation>
 
</equation>
  
(''różniczkujemy po <math>dt</math>, więc przy każdym różniczkowaniu spada nam z wykładnika <math>i x</math>, <math>x</math> zostaje pod całką a <math>i</math> jako stała wychodzi przed całkę'')
+
====Związek pochodnej funkcji charakterystycznej z momentami zmiennej losowej====
 
+
<math>n</math>-ta pochodna funkcji charakterystycznej w zerze (czyli dla <math>t=0</math>) wynosi
n-ta pochodna funkcji tworzącej w zerze, czyli dla <math>t=0</math>, będzie wynosić
 
 
<equation id="eq:84">
 
<equation id="eq:84">
 
<center><math>
 
<center><math>
Linia 62: Linia 116:
 
</equation>
 
</equation>
  
Kolejny użyteczny fakt zachodzi dla '''niezależnych''' zmiennych <math>x</math> i <math>y</math>:
+
==Twierdzenie Lindeberga&ndash;Lévy'ego==
<equation id="eq:85">
+
Zakładamy, że <math>x_{i}</math> są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej <math>\mu</math> i wariancji <math>\sigma^{2}</math>, czyli wszystkie sumowane zmienne <math>x_i</math> pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa, o którym nie zakładamy nic ponad to, że ma skończone <math>\mu</math> i <math>\sigma</math>.
 +
Wielkość
 +
 
 +
<center>
 +
<equation id="eq:82"> <math>
 +
S=\dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\; -\; n\mu}{\sigma \sqrt{n}}
 +
</math> </equation>
 +
</center>
 +
 
 +
dla <math>n\rightarrow \infty</math> zbiega do rozkładu normalnego o zerowej wartości średniej i jednostkowej wariancji.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
===Dowód twierdzenia Lindeberga&ndash;Lévy'ego===
 +
Rozważmy zmienną <math>y_i</math> o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji
 +
<center><math>
 +
y_{i} = \dfrac{x_{i}-\mu}{\sigma} .
 +
</math></center>
 +
 
 +
Funkcję charakterystyczną rozkładu zmiennej <math>y_i</math>  
 +
<center><math>\phi_{y_i}(z) = E(e^{i z y_i}) </math></center>
 +
możemy rozwinąć w szereg Taylora wokół <math>z=0</math>
 +
<equation id="eq:86">
 
<center><math>
 
<center><math>
w=x+y\Rightarrow \phi _{w}(t)=E(e^{it(x+y)})=E(e^{itx}\cdot
+
\phi_{y_i}(z)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\phi^{(n)}(0)}{n!}z^n
e^{ity})=E(e^{itx})\cdot E(e^{ity})=\phi _{x}\left( t\right) \cdot \phi
 
_{y}(t).
 
 
</math></center>
 
</math></center>
 
</equation>
 
</equation>
 +
Z wyprowadzonej wcześniej własności funkcji charakterystycznej <xr id="eq:84">(%i)</xr>
 +
<math>
 +
\phi^{(n)}(0)=
 +
i^{n}E(x^{n})
 +
</math>
 +
wynika, że
 +
 +
<math>\phi_{y_i}^{(0)}(0)=1</math>,
 +
 +
<math>\phi_{y_i}^{(1)}(0)=0</math> (wartość oczekiwana), 
 +
 +
<math>\phi_{y_i}^{(2)}(0)=-1</math> (<math>i^2</math> * wariancja),
  
Funkcja tworząca rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej 0 i jednostkowej
+
czyli funkcja charakterystyczna zmiennej <math>y_i</math> rozwinięta w szereg Taylora <xr id="eq:86">(%i)</xr> do wyrazów drugiego rzędu będzie miała postać
wariancji będzie miała postać
+
<equation id="eq:87">
 
<center><math>
 
<center><math>
\phi _{x}(t)=
+
\phi_{y_i}(z)=1-\frac{z^{2}}{2}+\cdots .
\int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{e^{\frac{-x^{2}}{2}}}{\sqrt{2\pi }}dx=
 
(\dots)=e^{\frac{-t^{2}}{2}}.
 
 
</math></center>
 
</math></center>
''W analizie sygnałów wynik ten będzie oznaczał, że tranformata Fouriera funkcji Gaussa jest również funkcją Gaussa. Do wyliczeń zastąpionych powyżej przez (...) możemy np. skorzystać z tablicy całek oznaczonych, w których znajdujemy wzór <math>\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-a x^2 + 2 b x} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-\frac{b^2}{a}}</math> dla <math>a>0</math>.''
+
</equation>
 +
 
 +
 
 +
Wrócmy do występującej w twierdzeniu sumy <math>S</math>
 +
 
 +
<math>  
 +
S=\dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\; -\; n\mu}{\sigma \sqrt{n}} =  
 +
\dfrac{1}{\sigma \sqrt{n}} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i} -\mu) =
 +
\dfrac{1}{\sqrt{n}} \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{x_{i} -\mu}{\sigma}
 +
= \dfrac{1}{\sqrt{n}} \sum\limits_{i=1}^{n} y_i
 +
</math>
  
Wróćmy do dowodu --- interesuje nas suma zmiennych <math>x_i</math> o wartości oczekiwanej
+
 
<math>\mu</math> i wariancji <math>\sigma^2</math>.
+
Jej funkcja charakterystyczna
Funkcję tworzącą dla jednej zmiennej <math>x_i</math> możemy rozwinąć w szereg Taylora
+
 
<equation id="eq:86">
+
<math>\phi_S(z) = E(e^{izS}) = E\left(e^{iz \frac{1}{\sqrt{n}} \sum\limits_{i=1}^{n} y_i}  \right)
 +
</math>
 
<math>
 
<math>
\phi(z)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\phi^{(n)}(z_{0})}{n!}
+
=  E\left(\prod_{i=1}^{n} e^{iz \frac{1}{\sqrt{n}}  y_i}  \right)
(z-z_{0})^{n}
+
</math>
 +
 
 +
ponieważ zmienne <math>y_i</math> są wzajemnie niezależne,
 +
 
 +
<math>\phi_S(z)= \prod_{i=1}^{n} E\left( e^{i\frac{z}{\sqrt{n}} y_i }  \right)
 +
= \prod_{i=1}^{n} \phi_{y_i}\left(\frac{z}{\sqrt{n}}\right)
 +
</math>
 +
 
 +
ponieważ zmienne <math>y_i</math> pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa,
 +
 
 +
<math>\phi_S(z)=
 +
\prod_{i=1}^{n} \phi_{y_i}\left(\frac{z}{\sqrt{n}}\right) =
 +
\left( \phi_{y_i}\left(\frac{z}{\sqrt{n}}\right) \right)^n =
 +
\left( 1-\frac{(z/\sqrt{n})^{2}}{2}+\cdots \right)^n =
 +
\left( 1-\frac{z^2}{2n}+\cdots \right)^n
 
</math>
 
</math>
</equation>
+
 
wokół <math>z_0</math>. Rozpatrzmy zmienną <math>y_i</math> przesuniętą względem <math>x_i</math> o <math>-\mu</math> i przeskalowaną czynnikiem <math>\sigma\sqrt{n}</math>:
+
 
 +
Przy przejściu z <math>n</math> do nieskończoności (i pomijaniu wyrazów rzędu wyższego niż drugi) dostajemy
 
<center><math>
 
<center><math>
y_{i}=\frac{x_{i}-\mu}{\sigma \sqrt{n}}.
+
\phi_y(z)\rightarrow
 +
\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\left(1-\frac{z^2}{2n}\right)^n=
 +
e^{\frac{-z^{2}}{2}}
 
</math></center>
 
</math></center>
Wtedy z <xr id="eq:84">(%i)</xr> wynika, że <math>\phi^{(0)}(0)=1</math>,
+
 
<math>\phi^{(1)}(0)=0</math>, a <math>\phi^{(2)}(0)=-\frac1 n</math>, czyli funkcja tworząca <math>y_i</math>
+
bo
rozwinięta w szereg Taylora <xr id="eq:86">(%i)</xr> będzie miała postać
+
<math>e^x=\lim_{n\rightarrow\infty} (1+x/n)^n</math>
<equation id="eq:87">
+
 
 +
Pozostaje pokazać, że jest to postać funkcji charakterystycznej rozkładu Gaussa.
 +
 
 +
====Transformata Fouriera funkcji Gaussa====
 +
Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej 0 i jednostkowej wariancji będzie miała postać
 +
 
 +
<math>
 +
\phi _{x}(t)=
 +
\int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{\frac{-x^{2}}{2}} dx =
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 +
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \left( \cos(tx) + i \sin(tx) \right) e^{\frac{-x^2}{2}} dx =
 +
</math>
 +
 
 
<math>
 
<math>
\phi_{y_i}(t)=1-\frac{t^{2}}{2n}+\cdots .
+
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \cos(tx) e^{\frac{-x^2}{2}} dx +
 +
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty  i \sin(tx)  e^{\frac{-x^2}{2}} dx
 
</math>
 
</math>
</equation>
 
  
Korzystając ze wzoru <xr id="eq:85">(%i)</xr> możemy przedstawić pierwsze wyrazy
+
ponieważ funkcja <math>\sin(x)</math> jest antysymetryczna, druga całka znika. Dostajemy
rozwinięcia Taylora sumy <math>y=\sum_{i=1}^n y_i</math>, odpowiadającej transformacji <xr id="eq:82">(%i)</xr>
 
z dowodzonego twierdzenia, jako iloczyn <math>n</math> funkcji tworzących <xr id="eq:87">(%i)</xr>:
 
  
 
<math>
 
<math>
\phi_y(t)=\left(1-\frac{t^2}{2n}+\ldots\right)^n.
+
\int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{\frac{-x^2}{2}} dx =
 +
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \cos(tx) e^{\frac{-x^2}{2}} dx
 
</math>
 
</math>
  
Przy przejściu z <math>n</math> do nieskończoności (i konsekwentnym pomijaniu wyrazów rzędu
+
Dla części symetrycznej znajdujemy w tablicach całkę oznaczoną
<math>n^{-2}</math>) dostajemy
+
 
 +
<math>
 +
\int\limits_{0}^{\infty} e^{-a^2 x^2} \cos(b x) dx
 +
=
 +
\frac{ \sqrt{\pi} e^{-\tfrac{b^2}{4a^2}} } {2 a}
 +
</math>
 +
 
 +
po wymnożeniu przez 2 i podstawieniu <math> b=t</math> i <math>a^2=\frac{1}{2}</math> dostajemy
 +
 
 +
<math>
 +
\int\limits_{-\infty}^{\infty}  e^{-\frac{1}{2} x^2} \cos(t x)  dx
 +
=
 +
\frac{ \sqrt{\pi} e^{ -\frac{t^2} { 4 \frac{1}{2} } } } {\frac{1}{\sqrt{2}}}
 +
=
 +
\sqrt{2\pi} e^{-\frac{t^2}{2}}
 +
</math> , czyli
 +
 
 +
 
 
<center><math>
 
<center><math>
\phi_y(t)\rightarrow
+
\phi _{x}(t) =
 +
\int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{\frac{-x^{2}}{2}} dx =
 +
e^{-t^2 / 2}
 +
</math></center>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
W analizie sygnałów wynik ten będzie oznaczał, że transformacja Fouriera funkcji Gaussa jest funkcją Gaussa. W tym konkretnym przypadku otrzymaliśmy funkcję tożsamą z funkcją charakterystyczną rozkładu rozważanej sumy zmiennych, czyli rozkład ten będzie (w przypadku granicznym) miał postać funkcji Gaussa.
  
\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\left(1-\frac{t^2}{2n}\right)^n=
 
e^{\frac{-t^{2}}{2}}
 
</math></center>
 
czyli funkcję tworzącą rozkładu normalnego.
 
  
  
 
[[Plik:Ctg.png|300px|thumb|left|<figure id="fig:ctg"></figure>Ilustracja działania Centralnego Twierdzenia Granicznego. Zmienną
 
[[Plik:Ctg.png|300px|thumb|left|<figure id="fig:ctg"></figure>Ilustracja działania Centralnego Twierdzenia Granicznego. Zmienną
 
<math>x_i</math> bierzemy z rozkładu równomiernego, kolejne histogramy przedstawiają sumę 2, 3 i 4
 
<math>x_i</math> bierzemy z rozkładu równomiernego, kolejne histogramy przedstawiają sumę 2, 3 i 4
zmiennych <math>x_i</math> dla \mbox{10 000} losowań. Widać dużą zgodność z dopasowanym rozkładem
+
zmiennych <math>x_i</math> dla 10 000 losowań. Widać dużą zgodność z dopasowanym rozkładem
 
normalnym (ciągła linia) już dla niewielu sumowanych zmiennych.
 
normalnym (ciągła linia) już dla niewielu sumowanych zmiennych.
 
]]
 
]]
Linia 130: Linia 275:
 
przypadku sumy zmiennych pochodzących z rozkładu równomiernego. Jak
 
przypadku sumy zmiennych pochodzących z rozkładu równomiernego. Jak
 
widać, już dla sumy 3 zmiennych rozkład wydaje się bardzo podobny do
 
widać, już dla sumy 3 zmiennych rozkład wydaje się bardzo podobny do
normalnego. Niestety, często istotne bywają różnice w ,,ogonach'',
+
normalnego. Niestety, często istotne bywają różnice dla wartości bardzo dużych lub bardzo małych. Otóż według
czyli dla wartości bardzo dużych lub bardzo małych. Otóż według
 
 
[[WnioskowanieStatystyczne/Rozklady-przyklady#label-eq:78|wzoru]] wartości gęstości
 
[[WnioskowanieStatystyczne/Rozklady-przyklady#label-eq:78|wzoru]] wartości gęstości
 
prawdopodobieństwa rozkładu normalnego dążą do zera dla dużych
 
prawdopodobieństwa rozkładu normalnego dążą do zera dla dużych

Aktualna wersja na dzień 14:10, 18 mar 2024

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład

Rozkład Gaussa

Rozkład Gaussa (zwany też rozkładem normalnym lub krzywą dzwonową) zależy od parametrów [math]\mu[/math] i [math]\sigma[/math]. Jego gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem:

[math] p(x)=N(\mu, \sigma)= \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}. [/math]

Parametry te są tak dobrane, że wartość oczekiwana wynosi [math]\mu[/math], a wariancja [math]\sigma^2[/math].

[math]N(0,1)[/math], czyli standardowy rozkład Gaussa o zerowej średniej ([math]\mu=0[/math]) i jednostkowej wariancji ([math]\sigma=1[/math]).

Rozkład Gaussa dla zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji ([math]\mu=0, \sigma^2=1[/math]) zwiemy standardowym rozkładem Gaussa i oznaczamy zwykle [math]N(0,1)[/math]. Na wykresie zaznaczono na nim m. in. wartość całki od [math]-\infty[/math] do [math]-1[/math], czyli prawdopodobieństwo, że wylosowana z tego rozkładu liczba będzie mniejsza niż [math]-1[/math]. Jak widać, wynosi ono ok. 16%, a jeśli weźmiemy pod uwagę również wartości większe od 1, będzie to aż 32%! Oznacza to, że przy losowaniu wielu liczb z tego rozkładu niemal 1/3 wyników może znaleźć się w odległości większej niż [math]\sigma[/math] od wartości oczekiwanej.

[math] x\in N(\mu,\sigma)\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} P(\left| x-\mu \right| \geq \sigma )\approx 0,\!317,\\ P(\left| x-\mu \right| \geq 2\sigma )\ \approx 0,\!046,\\ \ P(\left| x-\mu \right| \geq 3\sigma )\approx 0,\!003. \end{cases} [/math]


Rozkład Gaussa pełni w statystyce bardzo znaczącą rolę ze względu na Centralne Twierdzenie Graniczne, mówiące o asysmptotycznym rozkładzie sumy dużej liczby niezależnych zmiennych losowych, których rozkłady spełniają pewne warunki. Udowodnimy je w najprostszym przypadku, kiedy wszystkie te zmienne pochodzą z tego samego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa. Na potrzeby tego dowodu musimy najpierw wprowadzić pojęcie funkcji charakterystycznej.


Funkcja charakterystyczna rozkładu prawdopodobieństwa

Dla zmiennej losowej [math]x[/math] jest to wartość oczekiwana wyrażenia [math]e^{itx}[/math], gdzie [math]i=\sqrt{-1}[/math]. Dla rozkładów ciągłych jest to transformata Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa [math]f(x)[/math]:

[math] \phi_x (t)=E(e^{itx})=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }} e^{itx}f\left( x\right) dx [/math]

Użyteczne będą poniższe związki, które wyprowadzić można bezpośrednio z definicji:

Funkcja charakterystyczna rozkładu sumy zmiennych niezależnych

Dla niezależnych zmiennych [math]x[/math] i [math]y[/math]:

[math] w=x+y\Rightarrow \phi _{w}(t) =\phi _{x}\left( t\right) \cdot \phi_{y}(t). [/math]

Dowód:

[math] \phi _{w}(t) = E(e^{it(x+y)})=E(e^{itx}\cdot e^{ity}) = E(e^{itx})\cdot E(e^{ity})=\phi _{x}\left( t\right) \cdot \phi_{y}(t). [/math]

Pochodna funkcji charakterystycznej

Bezpośrednio z definicji (różniczkujemy po [math]dt[/math], więc przy każdym różniczkowaniu spada nam z wykładnika [math]i x[/math], [math]x[/math] zostaje pod całką a [math]i[/math] jako stała wychodzi przed całkę) widać, że:

[math] \frac{d^{n}\phi (t)}{dt^{n}}=i^{n}\underset{}{\underset{-\infty }{\overset{ \infty }{\int }}x^{n}}\ e^{itx}f(x) dx [/math]

Związek pochodnej funkcji charakterystycznej z momentami zmiennej losowej

[math]n[/math]-ta pochodna funkcji charakterystycznej w zerze (czyli dla [math]t=0[/math]) wynosi

[math] \phi^{(n)}(0)= i^{n}\underset{}{\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x^{n}}\ e^{i 0 x} f(x) dx = i^{n}\underset{}{\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x^{n}} f(x) dx = i^{n}E(x^{n}) [/math]

Twierdzenie Lindeberga–Lévy'ego

Zakładamy, że [math]x_{i}[/math] są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej [math]\mu[/math] i wariancji [math]\sigma^{2}[/math], czyli wszystkie sumowane zmienne [math]x_i[/math] pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa, o którym nie zakładamy nic ponad to, że ma skończone [math]\mu[/math] i [math]\sigma[/math]. Wielkość

[math] S=\dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\; -\; n\mu}{\sigma \sqrt{n}} [/math]

dla [math]n\rightarrow \infty[/math] zbiega do rozkładu normalnego o zerowej wartości średniej i jednostkowej wariancji.


Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego

Rozważmy zmienną [math]y_i[/math] o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji

[math] y_{i} = \dfrac{x_{i}-\mu}{\sigma} . [/math]

Funkcję charakterystyczną rozkładu zmiennej [math]y_i[/math]

[math]\phi_{y_i}(z) = E(e^{i z y_i}) [/math]

możemy rozwinąć w szereg Taylora wokół [math]z=0[/math]

[math] \phi_{y_i}(z)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\phi^{(n)}(0)}{n!}z^n [/math]

Z wyprowadzonej wcześniej własności funkcji charakterystycznej (4) [math] \phi^{(n)}(0)= i^{n}E(x^{n}) [/math] wynika, że

[math]\phi_{y_i}^{(0)}(0)=1[/math],

[math]\phi_{y_i}^{(1)}(0)=0[/math] (wartość oczekiwana),

[math]\phi_{y_i}^{(2)}(0)=-1[/math] ([math]i^2[/math] * wariancja),

czyli funkcja charakterystyczna zmiennej [math]y_i[/math] rozwinięta w szereg Taylora (6) do wyrazów drugiego rzędu będzie miała postać

[math] \phi_{y_i}(z)=1-\frac{z^{2}}{2}+\cdots . [/math]


Wrócmy do występującej w twierdzeniu sumy [math]S[/math]

[math] S=\dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\; -\; n\mu}{\sigma \sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{n}} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i} -\mu) = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{x_{i} -\mu}{\sigma} = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \sum\limits_{i=1}^{n} y_i [/math]


Jej funkcja charakterystyczna

[math]\phi_S(z) = E(e^{izS}) = E\left(e^{iz \frac{1}{\sqrt{n}} \sum\limits_{i=1}^{n} y_i} \right) [/math] [math] = E\left(\prod_{i=1}^{n} e^{iz \frac{1}{\sqrt{n}} y_i} \right) [/math]

ponieważ zmienne [math]y_i[/math] są wzajemnie niezależne,

[math]\phi_S(z)= \prod_{i=1}^{n} E\left( e^{i\frac{z}{\sqrt{n}} y_i } \right) = \prod_{i=1}^{n} \phi_{y_i}\left(\frac{z}{\sqrt{n}}\right) [/math]

ponieważ zmienne [math]y_i[/math] pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa,

[math]\phi_S(z)= \prod_{i=1}^{n} \phi_{y_i}\left(\frac{z}{\sqrt{n}}\right) = \left( \phi_{y_i}\left(\frac{z}{\sqrt{n}}\right) \right)^n = \left( 1-\frac{(z/\sqrt{n})^{2}}{2}+\cdots \right)^n = \left( 1-\frac{z^2}{2n}+\cdots \right)^n [/math]


Przy przejściu z [math]n[/math] do nieskończoności (i pomijaniu wyrazów rzędu wyższego niż drugi) dostajemy

[math] \phi_y(z)\rightarrow \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\left(1-\frac{z^2}{2n}\right)^n= e^{\frac{-z^{2}}{2}} [/math]

bo [math]e^x=\lim_{n\rightarrow\infty} (1+x/n)^n[/math]

Pozostaje pokazać, że jest to postać funkcji charakterystycznej rozkładu Gaussa.

Transformata Fouriera funkcji Gaussa

Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej 0 i jednostkowej wariancji będzie miała postać

[math] \phi _{x}(t)= \int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{\frac{-x^{2}}{2}} dx = [/math]

[math] \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \left( \cos(tx) + i \sin(tx) \right) e^{\frac{-x^2}{2}} dx = [/math]

[math] \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \cos(tx) e^{\frac{-x^2}{2}} dx + \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty i \sin(tx) e^{\frac{-x^2}{2}} dx [/math]

ponieważ funkcja [math]\sin(x)[/math] jest antysymetryczna, druga całka znika. Dostajemy

[math] \int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{\frac{-x^2}{2}} dx = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \cos(tx) e^{\frac{-x^2}{2}} dx [/math]

Dla części symetrycznej znajdujemy w tablicach całkę oznaczoną

[math] \int\limits_{0}^{\infty} e^{-a^2 x^2} \cos(b x) dx = \frac{ \sqrt{\pi} e^{-\tfrac{b^2}{4a^2}} } {2 a} [/math]

po wymnożeniu przez 2 i podstawieniu [math] b=t[/math] i [math]a^2=\frac{1}{2}[/math] dostajemy

[math] \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2} x^2} \cos(t x) dx = \frac{ \sqrt{\pi} e^{ -\frac{t^2} { 4 \frac{1}{2} } } } {\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2\pi} e^{-\frac{t^2}{2}} [/math] , czyli


[math] \phi _{x}(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{\frac{-x^{2}}{2}} dx = e^{-t^2 / 2} [/math]


W analizie sygnałów wynik ten będzie oznaczał, że transformacja Fouriera funkcji Gaussa jest funkcją Gaussa. W tym konkretnym przypadku otrzymaliśmy funkcję tożsamą z funkcją charakterystyczną rozkładu rozważanej sumy zmiennych, czyli rozkład ten będzie (w przypadku granicznym) miał postać funkcji Gaussa.


Ilustracja działania Centralnego Twierdzenia Granicznego. Zmienną [math]x_i[/math] bierzemy z rozkładu równomiernego, kolejne histogramy przedstawiają sumę 2, 3 i 4 zmiennych [math]x_i[/math] dla 10 000 losowań. Widać dużą zgodność z dopasowanym rozkładem normalnym (ciągła linia) już dla niewielu sumowanych zmiennych.

Rysunek 1 ilustruje powyższe twierdzenie dla przypadku sumy zmiennych pochodzących z rozkładu równomiernego. Jak widać, już dla sumy 3 zmiennych rozkład wydaje się bardzo podobny do normalnego. Niestety, często istotne bywają różnice dla wartości bardzo dużych lub bardzo małych. Otóż według wzoru wartości gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego dążą do zera dla dużych wartości bezwzględnych zmiennej asymptotycznie, lecz zera faktycznie nie osiągają. Inaczej mówiąc, prawdopodobieństwo wylosowania dowolnie dużej wartości z rozkładu Gaussa będzie małe, ale nie zerowe. Za to suma np. czterech zmiennych z rozkładu równomiernego od zera do jedynki (prawy dolny wykres rys. 1) nie przekroczy nigdy wartości 4, czyli prawdopodobieństwo dla [math]x\gt 4[/math] będzie dokładnie zerem. I choć w skali rysunku 1 efekt ten jest prawie niewidoczny, warto pamiętać, że testy oparte na założeniu normalności rozkładów często operują właśnie w okolicach tych "ogonów", gdzie przybliżenie rozkładu normalnego, uzyskane za pomocą tej prostej procedury, zawodzi.