WnioskowanieStatystyczne/Regresja liniowa: Różnice pomiędzy wersjami
| (Nie pokazano 4 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) | |||
| Linia 31: | Linia 31: | ||
<math>\sigma _{i}</math> zwykle nie znamy, więc przyjmujemy jako stałą | <math>\sigma _{i}</math> zwykle nie znamy, więc przyjmujemy jako stałą | ||
<math>\forall i \sigma _{i}=\sigma</math>. Pozostaje szukanie minimum | <math>\forall i \sigma _{i}=\sigma</math>. Pozostaje szukanie minimum | ||
| − | sumy <math>S=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum | + | sumy |
| − | }}(y_{i}-a-bx_{i})^{2}</math> | + | |
| + | <math>S=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum | ||
| + | }}(y_{i}-a-bx_{i})^{2}</math> | ||
| + | |||
| + | w zerze pochodnej po parametrach | ||
<math>a</math> i <math>b</math> | <math>a</math> i <math>b</math> | ||
| + | |||
| + | |||
<math> | <math> | ||
| Linia 41: | Linia 47: | ||
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_i = \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} a + b\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} x_i \\ | \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_i = \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} a + b\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} x_i \\ | ||
| − | \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_i = | + | \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_i = N a + b\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} x_i \\ |
| − | + | \frac{1}{N} | |
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_{i} | \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_{i} | ||
| − | = a + \frac{1}{N} b | + | = a + \frac{1}{N} b \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} x_i |
</math> | </math> | ||
| Linia 55: | Linia 61: | ||
a = \bar{y} - b\bar{x} | a = \bar{y} - b\bar{x} | ||
</math> | </math> | ||
| + | |||
| + | |||
wyznaczone stąd <math>a</math> podstawiamy do wzoru na <math>S</math> | wyznaczone stąd <math>a</math> podstawiamy do wzoru na <math>S</math> | ||
Wersja z 16:47, 20 kwi 2023
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Regresja liniowa
Pary pomiarów [math](x_{i},y_{i})[/math]. Dla każdego [math]x_{i}[/math], [math]y_{i}[/math] traktujemy jak zmienną losową z rozkładu normalnego o wartości średniej [math]a+b[/math] [math]x_{i}[/math] i wariancji [math]\sigma _{i}^{2}[/math]. Prawdopodobieństwo a posteriori otrzymania [math]N[/math] wyników [math]y_{i}[/math] dla określonych [math]x_{i}[/math] przy założeniu wartości [math]a[/math] i [math]b[/math]
[math] P(\overline{y}\mid \overline{x},a,b) =\underset{i=1}{\overset{N}{\prod }} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma _{i}^{2}}}e^{\frac{(y_{i}-a-bx_{i})^{2}}{2\sigma_{i}^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{(2\pi )^{n}}} \cdot \underset{i=1}{\overset{N}{\prod }} \frac{1}{\sigma _{i}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{ (y_{i}-a-bx_{i})^{2}}{\sigma _{i}^{2}}} [/math]
logarytmiczna funkcja wiarygodności:
[math] l=-\frac{N}{2}\ln 2\pi +\ln (\underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}\frac{1}{ \sigma _{i}})-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{ (y_{i}-a-bx_{i})^{2}}{\sigma _{i}^{2}} [/math]
[math]\sigma _{i}[/math] zwykle nie znamy, więc przyjmujemy jako stałą [math]\forall i \sigma _{i}=\sigma[/math]. Pozostaje szukanie minimum sumy
[math]S=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-a-bx_{i})^{2}[/math]
w zerze pochodnej po parametrach [math]a[/math] i [math]b[/math]
[math] \frac{\partial S}{\partial a}=-2\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-a-bx_{i})\\ \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} \left(y_i - a - bx_i\right) = 0 \\ \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_i = \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} a + b\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} x_i \\ \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_i = N a + b\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} x_i \\ \frac{1}{N} \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} y_{i} = a + \frac{1}{N} b \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} x_i [/math]
[math] \bar{y} = a + b\bar{x} [/math]
[math] a = \bar{y} - b\bar{x} [/math]
wyznaczone stąd [math]a[/math] podstawiamy do wzoru na [math]S[/math]
[math] S=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-a-bx_{i})^{2} [/math]
[math] = \underset{i=1}{\overset{N}{\sum}}(y_{i}-\bar{y} - b\bar{x}-bx_{i})^{2} [/math]
[math] =\underset{i=1}{\overset{N}{\sum}} \left( (y_{i}-\bar{y}) - b (x_i - \bar{x}) \right)^2 [/math]
po podstawieniu liczymy pochodną po [math]b[/math]
[math] \frac{\partial S}{\partial b}= -2\sum_{i=1}^N \left( (y_{i} - \bar{y}) - b(x_{i} - \bar{x})\right)\left(x_{i}-\bar{x}\right) = 0 [/math]
[math] \sum_{i=1}^N \left(y_{i} - \bar{y}\right)\left(x_i - \bar{x}\right) - b\sum_{i=1}^N \left(x_i - \bar{x}\right)^2 = 0 [/math]
[math] b = \frac{\sum_{i=1}^N \left(y_{i} - \bar{y}\right)\left(x_i - \bar{x}\right)}{\sum_{i=1}^N \left(x_{i}-\bar{x}\right)^2} [/math]
czyli
[math] b=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}- \overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}}, \qquad a=\overline{y}-b\overline{x} [/math]
