Twierdzenie o próbkowaniu: Różnice pomiędzy wersjami
| Linia 15: | Linia 15: | ||
1</math>. Wtedy <math>\hat{s}(f)</math>, czyli transformata Fouriera | 1</math>. Wtedy <math>\hat{s}(f)</math>, czyli transformata Fouriera | ||
sygnału <math>s(t)</math>, będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy | sygnału <math>s(t)</math>, będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy | ||
| − | <math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>. Oznaczmy | + | <math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>. |
| + | |||
| + | Oznaczmy | ||
<math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z | <math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z | ||
<math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2}, | <math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2}, | ||
| Linia 21: | Linia 23: | ||
Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|szereg Fouriera]]: | Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|szereg Fouriera]]: | ||
| + | |||
<math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{2 \pi i f n}</math> | <math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{2 \pi i f n}</math> | ||
| − | Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]: <math> c_{n} = \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n | + | Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]: |
| + | |||
| + | <math> c_{n} = \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n | ||
f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n | f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n | ||
f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = | f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = | ||
| Linia 35: | Linia 40: | ||
Znajdźmy ''explicite'' formułę rekonstrukcji: | Znajdźmy ''explicite'' formułę rekonstrukcji: | ||
| + | |||
<math> | <math> | ||
s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f | s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f | ||
| Linia 45: | Linia 51: | ||
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df | = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df | ||
</math> | </math> | ||
| + | |||
ponieważ | ponieważ | ||
| + | |||
<math> | <math> | ||
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df | \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df | ||
| Linia 52: | Linia 60: | ||
=\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} | =\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} | ||
</math> | </math> | ||
| + | |||
dostajemy | dostajemy | ||
| + | |||
<math> | <math> | ||
s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } | s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } | ||
| Linia 63: | Linia 73: | ||
przekłamań, obliczając widmo (rozdział | przekłamań, obliczając widmo (rozdział | ||
[[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#Przekszta.C5.82cenie_Fouriera_sygna.C5.82.C3.B3w_dyskretnych.2C_aliasing|o aliasingu]]). | [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#Przekszta.C5.82cenie_Fouriera_sygna.C5.82.C3.B3w_dyskretnych.2C_aliasing|o aliasingu]]). | ||
| − | |||
===Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce=== | ===Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce=== | ||
Wersja z 11:23, 4 paź 2015
AS/ Twierdzenie o próbkowaniu
Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi) wersjami sygnałów ciągłych z natury.
Twierdzenie o próbkowaniu
Sygnał ciągły [math]s(t)[/math] możemy odtworzyć z wektora jego wartości w dyskretnych chwilach czasu [math] n \Delta t[/math], jeśli nie było w nim częstości wyższych niż [math]\frac{1}{2\, \Delta t}[/math].
Dowód
Dla uproszczenia przyjmijmy [math]\Delta t = 1[/math]. Wtedy [math]\hat{s}(f)[/math], czyli transformata Fouriera sygnału [math]s(t)[/math], będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy [math]-\frac{1}{2}[/math] a [math]\frac{1}{2}[/math].
Oznaczmy
[math]u(f)[/math] funkcję o okresie [math]1[/math], tożsamą z [math]\hat{s}(f)[/math] na przedziale [math] \left [ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ] [/math].
Przedstawia ją szereg Fouriera:
[math]u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{2 \pi i f n}[/math]
Współczynniki [math] c_n [/math] tego rozwinięcia dane są wzorem:
[math] c_{n} = \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = s(-n) [/math]
Współczynniki [math]c_n[/math], dane przez wartości sygnału [math]s[/math] w punktach próbkowania, jednoznacznie określają funkcję [math]u(f)[/math], ta z kolei zawiera w sobie [math]\hat{s}(f)[/math] — transformatę Fouriera ciągłego sygnału [math]s(t)[/math], czyli określa jednoznacznie również sam sygnał.
Znajdźmy explicite formułę rekonstrukcji:
[math] s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df [/math] [math] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t} df = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df [/math]
ponieważ
[math] \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df = \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)} \right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}} =\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} [/math]
dostajemy
[math] s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } \frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} [/math]
Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy przekłamań, obliczając widmo (rozdział o aliasingu).
Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce
W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości Nyquista.
