Szereg Fouriera: Różnice pomiędzy wersjami
(Nie pokazano 32 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) | |||
Linia 5: | Linia 5: | ||
<equation id="eq:15"> | <equation id="eq:15"> | ||
− | <math> | + | <math> \displaystyle |
s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi n}{T} t}, | s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi n}{T} t}, | ||
</math> | </math> | ||
Linia 14: | Linia 14: | ||
<equation id="eq:16"> | <equation id="eq:16"> | ||
− | <math> | + | <math> \displaystyle |
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^{i \frac{2\pi n}{T} t} d t | c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^{i \frac{2\pi n}{T} t} d t | ||
</math> | </math> | ||
Linia 21: | Linia 21: | ||
<br> | <br> | ||
− | '''Dowód''' | + | '''Dowód''': mnożymy obie strony pierwszego równania przez |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<math>e^\frac{2\pi i k t}{T}</math> | <math>e^\frac{2\pi i k t}{T}</math> | ||
i całkujemy po <math>dt</math> od <math>0</math> do <math>T</math>: | i całkujemy po <math>dt</math> od <math>0</math> do <math>T</math>: | ||
− | + | <math> \displaystyle | |
− | <math> | ||
\int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = | \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = | ||
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt | \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt | ||
</math> | </math> | ||
+ | Całki po prawej stronie znikają dla <math>k \ne n</math>. | ||
+ | {| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" | ||
+ | | znikanie całki <math>\int_0^T e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt </math> | ||
+ | |- | ||
+ | |niech <math>m = k-n, m \ne 0, m \in \mathbb N</math> | ||
+ | <math>\displaystyle \int_0^T e^{i{{2 \pi m t}\over{T}} t}dt = | ||
+ | \left[\frac{i T}{2 \pi m} e^{i \frac{2 \pi m t}{T} }\right]_0^T = | ||
+ | \frac{i T}{2 \pi m} \big( e^{i 2 \pi m} - 1 \big) = | ||
+ | \frac{i T}{2 \pi m} \big( \cos(2 m \pi) - i \sin(2 m \pi) - 1 \big) = \frac{i T}{2 \pi m} \big( 1 - i 0 - 1 \big) = 0 | ||
+ | </math> | ||
+ | |} | ||
+ | Jedyny niezerowy | ||
+ | wyraz dla <math>k = n</math> wynosi <math>\int_0^T c_n dt</math>, czyli <math>c_n T</math> (bo <math>e^0=1</math>), czyli | ||
− | + | <math> \displaystyle | |
− | + | \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = c_n T | |
− | + | </math> | |
− | Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów | + | Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów (<math>e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)</math>) z odpowiednimi wagami. Wagi <math>c_n</math> możemy traktować jako względny udział odpowiadających im częstości. |
===Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera=== | ===Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera=== | ||
− | <math> | + | <math> \displaystyle |
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2 | \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2 | ||
</math> | </math> | ||
Linia 51: | Linia 59: | ||
'''Dowód''': | '''Dowód''': | ||
− | <math> | + | <math> \displaystyle |
− | \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t =</math> | + | \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = </math> |
− | <math> \ | + | <math> \displaystyle |
− | + | \frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right) | |
− | + | \left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t = | |
− | \left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =</math> | + | </math> |
<math> | <math> | ||
− | \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\| | + | \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} dt= \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} m-n} dt = \delta_{(m-n)} T \;\right\|</math> |
− | <math>\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2 | + | <math> \displaystyle |
+ | = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2 | ||
</math> | </math> | ||
Linia 78: | Linia 87: | ||
Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności | Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności | ||
w czasie od <math>0</math> do <math>T</math>, to wytracona przez niego energia wyniesie <math>\int_0^T s(t)^2 d t</math>. | w czasie od <math>0</math> do <math>T</math>, to wytracona przez niego energia wyniesie <math>\int_0^T s(t)^2 d t</math>. | ||
− | + | <!-- Całkowitą energię sygnału definiujemy jako <math>\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t</math>. --> | |
− | definiujemy jako <math>\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t</math>. | ||
Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t</math>. Jak widać z powyższego twierdzenia, | Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t</math>. Jak widać z powyższego twierdzenia, | ||
dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako | dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako | ||
Linia 91: | Linia 99: | ||
możemy utworzyć sygnał okresowy <math>s_T(t)</math>: | możemy utworzyć sygnał okresowy <math>s_T(t)</math>: | ||
− | [[Plik:klasyczna_rys_1_5.jpg|thumb|center|400px | + | [[Plik:klasyczna_rys_1_5.jpg|thumb|center|400px]] |
<equation id="eq:17"> | <equation id="eq:17"> | ||
Linia 102: | Linia 110: | ||
który można już przedstawić w postaci <xr id="eq:15">sumy</xr>. | który można już przedstawić w postaci <xr id="eq:15">sumy</xr>. | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math> | + | {| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
− | określonej na przedziale <math>[0,1]</math> | + | | <strong>Rozwinięcie prostokąta w szereg Fouriera</strong> |
+ | |- | ||
+ | |Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math>, określonej na przedziale <math>[0,1]</math>: | ||
<equation id="eq:18"> | <equation id="eq:18"> | ||
Linia 119: | Linia 129: | ||
Bezpośrednio z <xr id="eq:16">wzoru</xr> dostajemy (dla <math>T = 1</math>) | Bezpośrednio z <xr id="eq:16">wzoru</xr> dostajemy (dla <math>T = 1</math>) | ||
− | <math>\ | + | <math>\displaystyle |
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t | c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t | ||
− | = \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t | + | = \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t \\ |
− | \left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}} | + | ( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) = |
+ | c_n = \left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}} | ||
= \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) = | = \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) = | ||
\left\{ | \left\{ | ||
Linia 131: | Linia 142: | ||
\right .\\ | \right .\\ | ||
(\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2} | (\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2} | ||
− | + | </math> | |
<br/> | <br/> | ||
<br/> | <br/> | ||
Linia 137: | Linia 148: | ||
Tak więc z <xr id="eq:15">wzoru</xr> | Tak więc z <xr id="eq:15">wzoru</xr> | ||
− | <math>\ | + | <math>\displaystyle |
\Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{-i 2 \pi t n} = | \Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{-i 2 \pi t n} = | ||
− | \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ | + | \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ \displaystyle |
− | = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\ | + | = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\\displaystyle |
= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t) | = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t) | ||
− | + | </math> | |
<br/> | <br/> | ||
Linia 150: | Linia 161: | ||
<equation id="eq:19"> | <equation id="eq:19"> | ||
− | <math> | + | <math>\displaystyle |
\Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)} | \Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)} | ||
</math> | </math> | ||
</equation> | </equation> | ||
− | [[Plik: | + | |} |
− | funkcja <math>\Theta</math> | + | |
− | + | [[Plik:Fig2_2a.png|thumb|center|657px|<figure id="fig:20"></figure>Od góry, kolejno: | |
+ | funkcja <math>\Theta</math> uzupełniona do funkcji okresowej, pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera, | ||
kwadraty współczynników szeregu Fouriera — dyskretne widmo, | kwadraty współczynników szeregu Fouriera — dyskretne widmo, | ||
− | pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia | + | pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia. Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji <math>\theta(t)</math> w punktach <math>\left\{\pm \frac{k}{2}, k \in N \right\}</math>; niejednorodna |
− | trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji <math>\theta(t)</math> w punktach <math>\left\{\pm \frac{k}{2}, k \in N \right\}</math>; niejednorodna | ||
zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę ''efektu Gibbsa''.]] | zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę ''efektu Gibbsa''.]] | ||
− | |||
Aktualna wersja na dzień 08:24, 11 paź 2024
AS/ Szereg Fouriera
Sygnał okresowy (o okresie [math]T[/math]) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:
gdzie
Dowód: mnożymy obie strony pierwszego równania przez [math]e^\frac{2\pi i k t}{T}[/math] i całkujemy po [math]dt[/math] od [math]0[/math] do [math]T[/math]:
[math] \displaystyle \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt [/math]
Całki po prawej stronie znikają dla [math]k \ne n[/math].
znikanie całki [math]\int_0^T e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt [/math] |
niech [math]m = k-n, m \ne 0, m \in \mathbb N[/math]
[math]\displaystyle \int_0^T e^{i{{2 \pi m t}\over{T}} t}dt = \left[\frac{i T}{2 \pi m} e^{i \frac{2 \pi m t}{T} }\right]_0^T = \frac{i T}{2 \pi m} \big( e^{i 2 \pi m} - 1 \big) = \frac{i T}{2 \pi m} \big( \cos(2 m \pi) - i \sin(2 m \pi) - 1 \big) = \frac{i T}{2 \pi m} \big( 1 - i 0 - 1 \big) = 0 [/math] |
Jedyny niezerowy wyraz dla [math]k = n[/math] wynosi [math]\int_0^T c_n dt[/math], czyli [math]c_n T[/math] (bo [math]e^0=1[/math]), czyli
[math] \displaystyle \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = c_n T [/math]
Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów ([math]e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)[/math]) z odpowiednimi wagami. Wagi [math]c_n[/math] możemy traktować jako względny udział odpowiadających im częstości.
Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera
[math] \displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2 [/math]
Dowód:
[math] \displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = [/math]
[math] \displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right) \left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t = [/math]
[math]
\left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} dt= \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} m-n} dt = \delta_{(m-n)} T \;\right\|[/math]
[math] \displaystyle
= \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2
[/math]
Energia, moc, widmo
Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności w czasie od [math]0[/math] do [math]T[/math], to wytracona przez niego energia wyniesie [math]\int_0^T s(t)^2 d t[/math]. Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli [math]\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t[/math]. Jak widać z powyższego twierdzenia, dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako sumę kwadratów współczynników szeregu Fouriera [math]\sum c_n^2[/math]. Pozwala to interpretować [math]c_n^2[/math] jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość. Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rysunek 1).
Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; z sygnału nie-okresowego [math]s(t)[/math], określonego na skończonym przedziale [math][0, T][/math], możemy utworzyć sygnał okresowy [math]s_T(t)[/math]:
tożsamy z [math]s(t)[/math] w przedziale [math][0, T][/math], który można już przedstawić w postaci sumy 1.
Rozwinięcie prostokąta w szereg Fouriera |
Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji [math]\Theta(t)[/math], określonej na przedziale [math][0,1][/math]:
[math]
\Theta(t) = \left\{
\begin{matrix}
1 &, & t \in [0, \frac{1}{2})\\
0 &, & t \in [ \frac{1}{2}, 1]
\end{matrix}
\right.
[/math]
Bezpośrednio z wzoru 2 dostajemy (dla [math]T = 1[/math]) [math]\displaystyle
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t
= \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t \\
( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) =
c_n = \left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}}
= \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) =
\left\{
\begin{matrix}
0 & \mathrm{dla}\; n = \pm2, \pm4, \ldots\\
i/\pi n & \mathrm{dla}\; n = \pm1, \pm3, \ldots
\end{matrix}
\right .\\
(\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2}
[/math]
Tak więc z wzoru 1 [math]\displaystyle \Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{-i 2 \pi t n} = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\\displaystyle = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t) [/math]
W sumie kosinusów wyrazy dla [math]n\gt 0[/math] znoszą odpowiednie wyrazy dla [math]-n[/math] (bo [math]cos(-x)=cos(x)[/math]), w sumie sinusów wyrazy dla [math]\pm n[/math] dodają się (bo [math]sin(-x)=-sin(x)[/math]), dając w efekcie [math]\displaystyle
\Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)}
[/math]
|