Szereg Fouriera: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 32 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 5: Linia 5:
  
 
<equation id="eq:15">
 
<equation id="eq:15">
<math>  
+
<math> \displaystyle
 
s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi n}{T} t},
 
s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi n}{T} t},
 
</math>
 
</math>
Linia 14: Linia 14:
  
 
<equation id="eq:16">
 
<equation id="eq:16">
<math>
+
<math> \displaystyle
 
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^{i \frac{2\pi n}{T} t} d t  
 
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^{i \frac{2\pi n}{T} t} d t  
 
</math>
 
</math>
Linia 21: Linia 21:
 
<br>
 
<br>
  
'''Dowód''' powyższego wzoru na współczynniki rozwinięcia
+
'''Dowód''': mnożymy obie strony pierwszego równania przez  
Fouriera:
 
 
 
 
 
Mnożymy obie strony <xr id="eq:15">równania</xr> przez  
 
 
<math>e^\frac{2\pi i k t}{T}</math>  
 
<math>e^\frac{2\pi i k t}{T}</math>  
 
i całkujemy po <math>dt</math> od <math>0</math> do <math>T</math>:  
 
i całkujemy po <math>dt</math> od <math>0</math> do <math>T</math>:  
  
 
+
<math> \displaystyle
<math>  
 
 
\int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt =  
 
\int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt =  
 
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt  
 
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt  
 
</math>
 
</math>
 
   
 
   
 +
Całki po prawej stronie znikają dla <math>k \ne n</math>.
 +
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
 +
| znikanie całki <math>\int_0^T e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt </math>
 +
|-
 +
|niech <math>m = k-n, m \ne 0, m \in \mathbb N</math>
 +
<math>\displaystyle \int_0^T e^{i{{2 \pi m t}\over{T}} t}dt =
 +
\left[\frac{i T}{2 \pi m} e^{i \frac{2 \pi m t}{T} }\right]_0^T =
 +
\frac{i T}{2 \pi m} \big( e^{i 2 \pi m} - 1 \big) =
 +
\frac{i T}{2 \pi m} \big( \cos(2 m \pi) - i \sin(2 m \pi) - 1 \big) = \frac{i T}{2 \pi m} \big( 1 - i 0 - 1 \big) = 0
 +
</math>
 +
|}
 +
Jedyny niezerowy
 +
wyraz dla <math>k = n</math> wynosi <math>\int_0^T c_n dt</math>, czyli <math>c_n T</math> (bo <math>e^0=1</math>), czyli
  
Całki po prawej stronie znikają dla <math>k \ne n</math>. Jedyny niezerowy
+
<math> \displaystyle
wyraz dla <math>k = n</math> wynosi <math>\int_0^T c_n dt</math>, czyli <math>c_n T</math> (bo <math>e^0=1</math>).
+
\int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = c_n T
+
</math>
  
Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami — przypomnijmy <math>e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)</math>. Wagi <math>c_n</math> możemy traktować jako względny udział odpowiadających im częstości.
+
Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów (<math>e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)</math>) z odpowiednimi wagami. Wagi <math>c_n</math> możemy traktować jako względny udział odpowiadających im częstości.
  
  
 
===Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera===
 
===Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera===
<math>
+
<math> \displaystyle
 
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2
 
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2
 
</math>
 
</math>
Linia 51: Linia 59:
 
'''Dowód''':
 
'''Dowód''':
  
<math>
+
<math> \displaystyle
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t  =</math>
+
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t  = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = </math>
  
<math> \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = </math>
+
<math> \displaystyle
 
+
\frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right)
<math>\frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right)
+
\left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =  
\left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =</math>
+
</math>
  
  
 
<math>
 
<math>
  \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\; =</math>
+
  \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} dt= \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} m-n} dt = \delta_{(m-n)} T \;\right\|</math>
  
  
<math>\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2
+
<math> \displaystyle
 +
= \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2
 
</math>
 
</math>
  
Linia 78: Linia 87:
 
Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności
 
Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności
 
w czasie od <math>0</math> do <math>T</math>, to wytracona przez niego energia wyniesie <math>\int_0^T s(t)^2 d t</math>.  
 
w czasie od <math>0</math> do <math>T</math>, to wytracona przez niego energia wyniesie <math>\int_0^T s(t)^2 d t</math>.  
W ogólności, biorąc pod uwagę sygnały o wartościach zespolonych, całkowitą energię sygnału  
+
<!-- Całkowitą energię sygnału definiujemy jako <math>\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t</math>. -->
definiujemy jako <math>\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t</math>.
 
 
Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli  <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t</math>. Jak widać z powyższego twierdzenia,  
 
Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli  <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t</math>. Jak widać z powyższego twierdzenia,  
 
dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako
 
dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako
Linia 91: Linia 99:
 
możemy utworzyć sygnał okresowy <math>s_T(t)</math>:  
 
możemy utworzyć sygnał okresowy <math>s_T(t)</math>:  
  
[[Plik:klasyczna_rys_1_5.jpg|thumb|center|400px| ]]
+
[[Plik:klasyczna_rys_1_5.jpg|thumb|center|400px]]
  
 
<equation id="eq:17">
 
<equation id="eq:17">
Linia 102: Linia 110:
 
który można już przedstawić w postaci <xr id="eq:15">sumy</xr>.  
 
który można już przedstawić w postaci <xr id="eq:15">sumy</xr>.  
 
    
 
    
+
 
''Przykład'':
+
 
Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math> (<xr id="fig:20"></xr>),  
+
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
określonej na przedziale <math>[0,1]</math> w następujący sposób:  
+
| <strong>Rozwinięcie prostokąta w szereg Fouriera</strong>
 +
|-
 +
|Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math>, określonej na przedziale <math>[0,1]</math>:
  
 
<equation id="eq:18">
 
<equation id="eq:18">
Linia 119: Linia 129:
 
Bezpośrednio z <xr id="eq:16">wzoru</xr> dostajemy (dla <math>T = 1</math>)
 
Bezpośrednio z <xr id="eq:16">wzoru</xr> dostajemy (dla <math>T = 1</math>)
 
   
 
   
<math>\begin{matrix}
+
<math>\displaystyle
 
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t  
 
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t  
= \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t = ( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) =  
+
= \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t \\
\left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}} \\
+
( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) =  
 +
c_n = \left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}}  
 
= \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) =  
 
= \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) =  
 
\left\{  
 
\left\{  
Linia 131: Linia 142:
 
\right .\\  
 
\right .\\  
 
(\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2}  
 
(\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2}  
\end{matrix}</math>
+
</math>
 
<br/>
 
<br/>
 
<br/>
 
<br/>
Linia 137: Linia 148:
 
Tak więc z <xr id="eq:15">wzoru</xr>
 
Tak więc z <xr id="eq:15">wzoru</xr>
  
<math>\begin{matrix}
+
<math>\displaystyle
 
\Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}  c_n e^{-i 2 \pi t n} =  
 
\Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}  c_n e^{-i 2 \pi t n} =  
\frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\  
+
\frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ \displaystyle
= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\
+
= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\\displaystyle
 
= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t)  
 
= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t)  
\end{matrix}</math>
+
</math>
  
 
<br/>
 
<br/>
Linia 150: Linia 161:
  
 
<equation id="eq:19">
 
<equation id="eq:19">
<math>
+
<math>\displaystyle
 
\Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)}
 
\Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)}
 
</math>
 
</math>
 
</equation>
 
</equation>
  
[[Plik:klasyczna_rys_2.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:20"></figure>Od góry, kolejno:
+
|}
funkcja <math>\Theta</math> (równanie <xr id="eq:18"> %i</xr>), "uzupełniona" do funkcji okresowej według wzoru
+
 
<xr id="eq:17"> %i</xr>,  pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera,  
+
[[Plik:Fig2_2a.png|thumb|center|657px|<figure id="fig:20"></figure>Od góry, kolejno:
 +
funkcja <math>\Theta</math> uzupełniona do funkcji okresowej,  pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera,  
 
kwadraty współczynników szeregu Fouriera &mdash; dyskretne widmo,  
 
kwadraty współczynników szeregu Fouriera &mdash; dyskretne widmo,  
pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia <xr id="eq:19">(%i)</xr>. Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji  
+
pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia. Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji <math>\theta(t)</math> w punktach <math>\left\{\pm \frac{k}{2}, k \in N \right\}</math>; niejednorodna  
trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji <math>\theta(t)</math> w punktach <math>\left\{\pm \frac{k}{2}, k \in N \right\}</math>; niejednorodna  
 
 
zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę ''efektu Gibbsa''.]]
 
zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę ''efektu Gibbsa''.]]
 
  
  

Aktualna wersja na dzień 08:24, 11 paź 2024

AS/ Szereg Fouriera

Sygnał okresowy (o okresie [math]T[/math]) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:


[math] \displaystyle s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi n}{T} t}, [/math]


gdzie

[math] \displaystyle c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^{i \frac{2\pi n}{T} t} d t [/math]


Dowód: mnożymy obie strony pierwszego równania przez [math]e^\frac{2\pi i k t}{T}[/math] i całkujemy po [math]dt[/math] od [math]0[/math] do [math]T[/math]:

[math] \displaystyle \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt [/math]

Całki po prawej stronie znikają dla [math]k \ne n[/math].

Jedyny niezerowy wyraz dla [math]k = n[/math] wynosi [math]\int_0^T c_n dt[/math], czyli [math]c_n T[/math] (bo [math]e^0=1[/math]), czyli

[math] \displaystyle \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = c_n T [/math]

Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów ([math]e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)[/math]) z odpowiednimi wagami. Wagi [math]c_n[/math] możemy traktować jako względny udział odpowiadających im częstości.


Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera

[math] \displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2 [/math]


Dowód:

[math] \displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = [/math]

[math] \displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right) \left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t = [/math]


[math] \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} dt= \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} m-n} dt = \delta_{(m-n)} T \;\right\|[/math]


[math] \displaystyle = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2 [/math]


Energia, moc, widmo

Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności w czasie od [math]0[/math] do [math]T[/math], to wytracona przez niego energia wyniesie [math]\int_0^T s(t)^2 d t[/math]. Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli [math]\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t[/math]. Jak widać z powyższego twierdzenia, dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako sumę kwadratów współczynników szeregu Fouriera [math]\sum c_n^2[/math]. Pozwala to interpretować [math]c_n^2[/math] jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość. Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rysunek 1).

Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; z sygnału nie-okresowego [math]s(t)[/math], określonego na skończonym przedziale [math][0, T][/math], możemy utworzyć sygnał okresowy [math]s_T(t)[/math]:

Klasyczna rys 1 5.jpg
[math]\begin{matrix} s_T(t)=s(t),\;t\in[0,T] \\ s_T(t+nT)=s(t),\;n=1,2,\ldots \end{matrix}[/math]

tożsamy z [math]s(t)[/math] w przedziale [math][0, T][/math], który można już przedstawić w postaci sumy 1.


Od góry, kolejno: funkcja [math]\Theta[/math] uzupełniona do funkcji okresowej, pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera, kwadraty współczynników szeregu Fouriera — dyskretne widmo, pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia. Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji [math]\theta(t)[/math] w punktach [math]\left\{\pm \frac{k}{2}, k \in N \right\}[/math]; niejednorodna zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę efektu Gibbsa.