Funkcja systemu: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 154 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
−
==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Funkcja systemu==
+
=[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Transformacja <math>\mathcal{Z}</math> i widmo procesu AR=
  
−
===Transformata Z===
+
=Transformacja <math>\mathcal{Z}</math>=
 +
Jednostronna transformata <math>\mathcal{Z}</math> ciągu liczb <math>x[n]</math> definiowana jest jako funkcja zmiennej <math>z</math> będąca sumą szeregu
  
−
definiowana jest jako szereg
+
:<math>
−
:<math>\mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.</math>
+
\displaystyle
−
Dla <math>z=e^{i \omega}</math> dostajemy Dyskretną Tranformatę Fouriera, ale tutaj przyjmujemy ogólną postać.
+
\mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z)= \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}
 +
</math>
 +
 
 +
czyli np.  
 +
<math>
 +
\mathcal{Z}\{(2, 7, 3)\} = 2 z + 7 z^{-1} + 3 z^{-2}
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Dla <math>z=e^{i \omega}</math> dostajemy Dyskretną Transformację Fouriera.
 +
 
 +
:<math>
 +
\displaystyle
 +
X(z=e^{i \omega})= \sum_{n=0}^{\infty} x[n] e^{- i \omega n}
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
Transformacja <math>\mathcal{Z}</math> jest liniowa
 +
 
 +
:<math>
 +
\displaystyle
 +
\mathcal{Z}\lbrace a x[n] + b y[n]\rbrace =a X[z] + b Y[z]
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
a dla przesunięcia w czasie
 +
 
 +
:<math>
 +
\displaystyle
 +
\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace  = z^{-k}X(z)
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
Dowód:
 +
 
 +
:::<math>
 +
\displaystyle
 +
\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k] z^{-n} \;\; \stackrel{ j \rightarrow n-k }{=} \;\;
 +
\sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-(j+k)} =
 +
</math>
 +
 
 +
:::<math>
 +
\displaystyle
 +
= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-j} z^{-k} = z^{-k} \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-j} </math>
 +
 
 +
 
 +
dla systemów przyczynowych <math>x[j]</math> są niezerowe dla <math>j>0</math> (por. [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)#Splot_i_przyczynowo.C5.9B.C4.87 LTI/Splot i przyczynowość])
 +
więc
 +
 
 +
 
 +
:<math>\displaystyle
 +
\mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = z^{-k} \sum_{j=0}^{\infty} x[j] z^{-j}
 +
</math>
 +
 
 +
==Transformata <math>\mathcal{Z}</math> splotu==
 +
Niech <math>x[n]=x_1[n]*x_2[n]</math>; wtedy transformata <math>\mathcal{Z}</math> splotu to iloczyn transformat <math>\mathcal{Z}</math>:
 +
 
 +
 
 +
::<math>
 +
\displaystyle
 +
\mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z) = \mathcal{Z}\{x_1[n]\} \mathcal{Z}\{x_2[n]\} = X_1(z)  X_2(z)
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
Dowód:
 +
 
 +
:::<math> \displaystyle \mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} = X(z) = </math>
 +
 
 +
:::<math> \displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty\left[\sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)x_2(n-k)\right]z^{-n}</math>
 +
 
 +
:::<math>= \displaystyle \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)\left[\sum_{n=-\infty}^\infty x_2(n-k)z^{-n}\right]</math>
 +
 
 +
:::<math>= \displaystyle \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)\left[\sum_{n = -\infty}^\infty x_2(n-k)z^{-(n-k)}z^{-k}\right]
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
:::niech <math>n-k = l</math>
 +
 
 +
:::<math> \displaystyle X(z) = \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)\left[z^{-k}\sum_{l=-\infty}^\infty x_2(l)z^{-l}\right]</math>
 +
 
 +
:::<math>= \displaystyle \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k) z^{-k} X_2(z)</math>
 +
 
 +
:::<math>=  \displaystyle X_1(z) X_2(z) </math>
 +
 
 +
=Widmo procesu AR=
 +
kładąc <math> a_0 = 1</math>, proces AR o znanych współczynnikach <math>a_i</math>
 +
:<math>
 +
\displaystyle
 +
x[n] = \sum_{i=1}^M a_i x[n-i] + \epsilon[n]
 +
</math>
 +
 
 +
możemy zapisać jako
 +
 
 +
:<math>
 +
\displaystyle
 +
\sum_{i=0}^M a_i x[n-i] = \epsilon[n]
 +
</math>
 +
 
 +
Biorąc transformatę Z obu stron
 +
 
 +
:<math>
 +
\displaystyle
 +
\mathcal{Z}\left\{\sum_{i=0}^M a_i x[n-i] \right\}  = \mathcal{Z}\left\{ \epsilon[n] \right\}
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
dostajemy
  
 +
<math>
 +
A(z) X(z) = E(z)
 +
</math>
  
−
Systemy liniowe niezmiennicze w czasie dają się opisać z pomocą
 
−
liniowych równań różnicowych o stałych współczynnikach:
 
−
<equation id="eq:38">
 
 
<math>
 
<math>
−
\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l]
+
X(z) =  \dfrac{E(z)}{A(z)}
 
</math>
 
</math>
−
</equation>
 
  
−
Zastosujmy do obu stron równania <xr id="eq:38"> %i</xr> [[wikipl:Transformata_Z|przekształcenie Z]]:
 
−
<equation id="eq:Z">
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
Z\left\{\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] \right\}  = Z\left\{ \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] \right\}\\
 
−
\sum_{k=0}^K a_k Z\left\{ y[n-k]\right\} = \sum_{l=0}^L b_l Z \left\{x[n-l]\right\}\\
 
−
\sum_{k=0}^K a_k z^{-k} Y(z) = \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} X(z)\\
 
−
Y(z) \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} = X(z) \sum_{l=0}^L b_l z^{-l}\\
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
</equation>
 
  
−
Dostajemy:
+
oznaczając
 +
 
 +
<math>\displaystyle
 +
H(z) \stackrel{def}{=} A^{-1}(z) = \dfrac{1}{\sum a_i z^{-i}}</math>
 +
 
 +
dostajemy
  
−
<equation id="eq:39">
 
 
<math>
 
<math>
−
\frac{Y(z)}{X(z)} \equiv H(z) = \frac{\sum_{l=0}^L b_l z^{-l}}{\sum_{k=0}^K a_k z^{-k}}
+
X(z) = H(z) E(z) = \dfrac{E(z)}{a_0 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \ldots}
 
</math>
 
</math>
−
</equation>
+
 
−
lub
+
 
 +
podstawiając <math>z=e^{i\omega t}</math>  przechodzimy z transformaty <math>\mathcal{Z}</math> do transformaty Fouriera <math>\mathcal{F}(x) = \hat{x}(\omega)</math>
 +
 
 +
 
 +
:<math>
 +
\hat{x}(\omega) = H(\omega) E(\omega)
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
widmo to kwadrat modułu transformaty Fouriera
 +
 
 +
 
 +
:<math>
 +
\displaystyle
 +
\left| \hat{x}(\omega) \right| ^2 =
 +
\left| H(\omega) E(\omega)  \right|^2 = \\
 +
\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left| H(\omega) \right|^2 \sigma^2 = 
 +
\dfrac{\sigma^2}{\left| {A(e^{-i\omega n})} \right|^2} =
 +
\dfrac{\sigma^2}{\left|a_0 + a_1 e^{-i\omega} + a_2 e^{- 2 i\omega} + \ldots \right|^2}
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
gdzie <math>\sigma^2</math> to wariancja nieskorelowanego szumu <math>\epsilon</math>, którego widmo jest płaskie (nie zależy od częstości)
 +
 
 +
==Wielozmienny model AR==
 +
 
 +
[[Model autoregresyjny (AR)|Model AR]] opisuje wartość
 +
sygnału w chwili <math>t</math> jako kombinację liniową jego wartości
 +
w chwilach poprzednich (oraz szumu). W przypadku wielowymiarowym
 +
możemy włączyć do tego opisu wartości wszystkich sygnałów
 +
<math>s_i</math>, czyli wektora
 +
<math>\vec{s}(t)</math>. Wielozmienny model AR (MVAR, multivariate
 +
autoregressive) można wówczas opisać wzorem:
 +
 
  
 
<math>
 
<math>
−
H(z) = \mathrm{const} \frac  {\prod_{l=0}^L \left(1-\frac{d_l}{z}\right) }     {\prod_{k=0}^K \left(1-\frac{c_k}{z}\right) }
+
\displaystyle
−
</math>
+
\vec{s}(t)=\sum_{i=1}^p A(i) \vec{s}(t-i) + \vec{\epsilon}(t) ,
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
gdzie <math>\vec{\epsilon}(t)</math> będzie wektorem
 +
szumów, zaś <math>A(i)</math> będą macierzami współczynników modelu.
 +
Przechodząc do przestrzeni częstości otrzymamy:
 +
 
 +
 
 +
<math>
 +
\displaystyle
 +
\vec{s}(\omega)=A^{-1}(\omega) \, \vec{\epsilon}(\omega)=H(\omega)\vec{\epsilon}(\omega),
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
gdzie <math>H(\omega)</math> jest macierzą przejścia.  MVAR jest modelem typu "czarna skrzynka", gdzie na wejściu występują szumy, na wyjściu sygnały, a system jest opisany przez macierz przejścia. Zawiera ona informacje o własnościach widmowych sygnałów i związkach między nimi.
 +
 
 +
 
 +
Na podstawie macierzy <math>H(\omega)</math> można obliczyć macierz
 +
gęstości widmowej zawierającą widma mocy dla pojedynczych kanałów jak
 +
również funkcje wzajemnej gęstości mocy pomiędzy kanałami.  Stosując
 +
tego typu podejście, w którym wszystkie sygnały generowane przez
 +
pewien proces są rozpatrywane jednocześnie, można policzyć z macierzy
 +
spektralnej nie tylko koherencje zwykłe pomiędzy dwoma kanałami, ale
 +
również koherencje wielorakie opisujące związek danego kanału z
 +
pozostałymi i koherencje cząstkowe opisujące bezpośrednie związki
 +
między dwoma kanałami po usunięciu wpływu pozostałych kanałów. W
 +
przypadku gdy pewien kanał 1 będzie wpływał na kanały 2 i 3,
 +
obliczając koherencję zwykłą znajdziemy związek między 2 oraz 3,
 +
chociaż nie są one ze sobą bezpośrednio powiązane, natomiast
 +
koherencja cząstkowa nie wykaże związku między nimi.
 +
 
 +
 
 +
Macierz <math>H(\omega)</math> jest niesymetryczna, a jej wyrazy
 +
pozadiagonalne są najczęściej stosowanymi estymatami [https://pl.wikipedia.org/wiki/Przyczynowość_w_sensie_Grangera przyczynowości w sensie Grangera] — 
 +
uwzględnienie wcześniejszej informacji zawartej w jednym z sygnałów
 +
zmniejsza błąd predykcji drugiego sygnału. Opierając się na tej
 +
własności zdefiniowano Kierunkową Funkcję Przejścia (DTF, directed
 +
transfer function) jako znormalizowany element pozadiagonalny
 +
<math>H(\omega)</math>.  DTF opisuje kierunek propagacji i skład
 +
widmowy rozchodzących się sygnałów.
 +
 
 +
 
 +
Otrzymamy w ten sposób całościowy opis zmian wszystkich sygnałów
 +
jednocześnie.  Co ciekawe, obliczona na tej podstawie funkcja
 +
charakteryzująca zależności między sygnałami <math>s_i</math> (funkcja
 +
przejścia) nie jest symetryczna, w przeciwieństwie do
 +
np. korelacji. Dzięki temu może służyć wnioskowaniu nie tylko o sile
 +
zależności między poszczególnymi sygnałami składowymi, ale też o
 +
kierunku przepływu informacji między nimi.  W przybliżeniu odpowiada
 +
to informacji, w którym z sygnałów struktury odpowiadające danej
 +
częstości pojawiają się wcześniej.
 +
 
 +
[[Plik:DTF.png|400px|thumb|center|MVAR w EEG, dzięki uprzejmości Macieja Kamińskiego]]
  
−
<math>H(z)</math> &mdash; funkcja systemu ''(system function)'' .
 
 
<references/>
 
<references/>
 +
 +
 +
 +
 +
<div align="right">
 +
[[Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] [[Filtry|⮕]]
 +
</div>

Aktualna wersja na dzień 21:01, 14 lis 2024

AS/ Transformacja [math]\mathcal{Z}[/math] i widmo procesu AR

Transformacja [math]\mathcal{Z}[/math]

Jednostronna transformata [math]\mathcal{Z}[/math] ciągu liczb [math]x[n][/math] definiowana jest jako funkcja zmiennej [math]z[/math] będąca sumą szeregu

[math] \displaystyle \mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z)= \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} [/math]

czyli np. [math] \mathcal{Z}\{(2, 7, 3)\} = 2 z + 7 z^{-1} + 3 z^{-2} [/math]


Dla [math]z=e^{i \omega}[/math] dostajemy Dyskretną Transformację Fouriera.

[math] \displaystyle X(z=e^{i \omega})= \sum_{n=0}^{\infty} x[n] e^{- i \omega n} [/math]


Transformacja [math]\mathcal{Z}[/math] jest liniowa

[math] \displaystyle \mathcal{Z}\lbrace a x[n] + b y[n]\rbrace =a X[z] + b Y[z] [/math]


a dla przesunięcia w czasie

[math] \displaystyle \mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = z^{-k}X(z) [/math]


Dowód:

[math] \displaystyle \mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k] z^{-n} \;\; \stackrel{ j \rightarrow n-k }{=} \;\; \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-(j+k)} = [/math]
[math] \displaystyle = \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-j} z^{-k} = z^{-k} \sum_{j=-k}^{\infty} x[j] z^{-j} [/math]


dla systemów przyczynowych [math]x[j][/math] są niezerowe dla [math]j\gt 0[/math] (por. LTI/Splot i przyczynowość) więc


[math]\displaystyle \mathcal{Z}\lbrace x[n-k]\rbrace = z^{-k} \sum_{j=0}^{\infty} x[j] z^{-j} [/math]

Transformata [math]\mathcal{Z}[/math] splotu

Niech [math]x[n]=x_1[n]*x_2[n][/math]; wtedy transformata [math]\mathcal{Z}[/math] splotu to iloczyn transformat [math]\mathcal{Z}[/math]:


[math] \displaystyle \mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z) = \mathcal{Z}\{x_1[n]\} \mathcal{Z}\{x_2[n]\} = X_1(z) X_2(z) [/math]


Dowód:

[math] \displaystyle \mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} = X(z) = [/math]
[math] \displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty\left[\sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)x_2(n-k)\right]z^{-n}[/math]
[math]= \displaystyle \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)\left[\sum_{n=-\infty}^\infty x_2(n-k)z^{-n}\right][/math]
[math]= \displaystyle \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)\left[\sum_{n = -\infty}^\infty x_2(n-k)z^{-(n-k)}z^{-k}\right] [/math]


niech [math]n-k = l[/math]
[math] \displaystyle X(z) = \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)\left[z^{-k}\sum_{l=-\infty}^\infty x_2(l)z^{-l}\right][/math]
[math]= \displaystyle \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k) z^{-k} X_2(z)[/math]
[math]= \displaystyle X_1(z) X_2(z) [/math]

Widmo procesu AR

kładąc [math] a_0 = 1[/math], proces AR o znanych współczynnikach [math]a_i[/math]

[math] \displaystyle x[n] = \sum_{i=1}^M a_i x[n-i] + \epsilon[n] [/math]

możemy zapisać jako

[math] \displaystyle \sum_{i=0}^M a_i x[n-i] = \epsilon[n] [/math]

Biorąc transformatę Z obu stron

[math] \displaystyle \mathcal{Z}\left\{\sum_{i=0}^M a_i x[n-i] \right\} = \mathcal{Z}\left\{ \epsilon[n] \right\} [/math]


dostajemy

[math] A(z) X(z) = E(z) [/math]

[math] X(z) = \dfrac{E(z)}{A(z)} [/math]


oznaczając

[math]\displaystyle H(z) \stackrel{def}{=} A^{-1}(z) = \dfrac{1}{\sum a_i z^{-i}}[/math]

dostajemy

[math] X(z) = H(z) E(z) = \dfrac{E(z)}{a_0 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \ldots} [/math]


podstawiając [math]z=e^{i\omega t}[/math] przechodzimy z transformaty [math]\mathcal{Z}[/math] do transformaty Fouriera [math]\mathcal{F}(x) = \hat{x}(\omega)[/math]


[math] \hat{x}(\omega) = H(\omega) E(\omega) [/math]


widmo to kwadrat modułu transformaty Fouriera


[math] \displaystyle \left| \hat{x}(\omega) \right| ^2 = \left| H(\omega) E(\omega) \right|^2 = \\ \,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left| H(\omega) \right|^2 \sigma^2 = \dfrac{\sigma^2}{\left| {A(e^{-i\omega n})} \right|^2} = \dfrac{\sigma^2}{\left|a_0 + a_1 e^{-i\omega} + a_2 e^{- 2 i\omega} + \ldots \right|^2} [/math]


gdzie [math]\sigma^2[/math] to wariancja nieskorelowanego szumu [math]\epsilon[/math], którego widmo jest płaskie (nie zależy od częstości)

Wielozmienny model AR

Model AR opisuje wartość sygnału w chwili [math]t[/math] jako kombinację liniową jego wartości w chwilach poprzednich (oraz szumu). W przypadku wielowymiarowym możemy włączyć do tego opisu wartości wszystkich sygnałów [math]s_i[/math], czyli wektora [math]\vec{s}(t)[/math]. Wielozmienny model AR (MVAR, multivariate autoregressive) można wówczas opisać wzorem:


[math] \displaystyle \vec{s}(t)=\sum_{i=1}^p A(i) \vec{s}(t-i) + \vec{\epsilon}(t) , [/math]


gdzie [math]\vec{\epsilon}(t)[/math] będzie wektorem szumów, zaś [math]A(i)[/math] będą macierzami współczynników modelu. Przechodząc do przestrzeni częstości otrzymamy:


[math] \displaystyle \vec{s}(\omega)=A^{-1}(\omega) \, \vec{\epsilon}(\omega)=H(\omega)\vec{\epsilon}(\omega), [/math]


gdzie [math]H(\omega)[/math] jest macierzą przejścia. MVAR jest modelem typu "czarna skrzynka", gdzie na wejściu występują szumy, na wyjściu sygnały, a system jest opisany przez macierz przejścia. Zawiera ona informacje o własnościach widmowych sygnałów i związkach między nimi.


Na podstawie macierzy [math]H(\omega)[/math] można obliczyć macierz gęstości widmowej zawierającą widma mocy dla pojedynczych kanałów jak również funkcje wzajemnej gęstości mocy pomiędzy kanałami. Stosując tego typu podejście, w którym wszystkie sygnały generowane przez pewien proces są rozpatrywane jednocześnie, można policzyć z macierzy spektralnej nie tylko koherencje zwykłe pomiędzy dwoma kanałami, ale również koherencje wielorakie opisujące związek danego kanału z pozostałymi i koherencje cząstkowe opisujące bezpośrednie związki między dwoma kanałami po usunięciu wpływu pozostałych kanałów. W przypadku gdy pewien kanał 1 będzie wpływał na kanały 2 i 3, obliczając koherencję zwykłą znajdziemy związek między 2 oraz 3, chociaż nie są one ze sobą bezpośrednio powiązane, natomiast koherencja cząstkowa nie wykaże związku między nimi.


Macierz [math]H(\omega)[/math] jest niesymetryczna, a jej wyrazy pozadiagonalne są najczęściej stosowanymi estymatami przyczynowości w sensie Grangera — uwzględnienie wcześniejszej informacji zawartej w jednym z sygnałów zmniejsza błąd predykcji drugiego sygnału. Opierając się na tej własności zdefiniowano Kierunkową Funkcję Przejścia (DTF, directed transfer function) jako znormalizowany element pozadiagonalny [math]H(\omega)[/math]. DTF opisuje kierunek propagacji i skład widmowy rozchodzących się sygnałów.


Otrzymamy w ten sposób całościowy opis zmian wszystkich sygnałów jednocześnie. Co ciekawe, obliczona na tej podstawie funkcja charakteryzująca zależności między sygnałami [math]s_i[/math] (funkcja przejścia) nie jest symetryczna, w przeciwieństwie do np. korelacji. Dzięki temu może służyć wnioskowaniu nie tylko o sile zależności między poszczególnymi sygnałami składowymi, ale też o kierunku przepływu informacji między nimi. W przybliżeniu odpowiada to informacji, w którym z sygnałów struktury odpowiadające danej częstości pojawiają się wcześniej.

MVAR w EEG, dzięki uprzejmości Macieja Kamińskiego




Źródło: „http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Funkcja_systemu&oldid=11167”