Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI)

AS/ Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI)

System opisać można jako "czarną skrzynkę", generującą sygnał (wyjście) w odpowiedzi na stan wejścia:

wejście [math]\longrightarrow[/math] SYSTEM [math]\longrightarrow[/math] wyjście (czyli mierzony sygnał)

W takim podejściu system będzie równoważny transformacji (przekształceniu) sygnału. Nie tracimy przy tym na ogólności, gdyż rzadko interesują nas sygnały generowane przez systemy całkowicie izolowane, czyli pozbawione wejścia. W skrajnym przypadku możemy założyć, że wejściem systemu jest szum (jak np. w modelu AR).

Droga do matematycznego opisu rzeczywistości prowadzi przez modele oparte na pewnych upraszczających je założeniach. Często właśnie wybór właściwych założeń (czyli uproszczeń) decyduje o sukcesie danego podejścia, jak np. w przypadku przestrzeni Banacha w analizie matematycznej. W przypadku teorii systemów szczególną rolę spełniają dwa założenia: liniowości i niezmienniczości w czasie. Na tych dwóch założeniach opiera się cała klasyczna analiza sygnałów, z której wywodzą się pojęcia widma mocy, teoria filtrów i wiele innych fundamentalnych idei.

Matematycznie system traktować będziemy jako transformację (operator), przekształcającą sygnał wejściowy [math]x(t)[/math] w [math]y(t)[/math]:

[math]x \longrightarrow[/math] [math]T\{\cdot\}[/math] [math]\longrightarrow T\{x\} = y[/math]

Będziemy się zajmować klasą systemów liniowych niezmienniczych w czasie (ang. Linear Time-Invariant, LTI), działających na sygnałach dyskretnych, czyli:

[math]x[n] \longrightarrow T\{\cdot\} \longrightarrow T\{x[n]\} = y[n][/math]

System [math]T[/math] jest liniowy, gdy:

[math] T\{a x_1+b x_2\} = a T\{x_1\} + b T\{x_2\} = a y_1 + b y_2 [/math],

a niezmienniczy w czasie, gdy

[math] T\{ x(t) \} = y(t) \Rightarrow T\{ x(t + \delta)\} = y(t+\delta) [/math].

Rozważmy działanie systemu na sekwencję jednostkową

[math] \delta[n]=\left\{ \begin{matrix} 1 \;\mathrm{dla} \; n=0\\ 0 \;\mathrm{dla} \; n\ne 0 \end{matrix} \right . [/math]

Niech [math]h_k(n)[/math] - odpowiedź systemu [math]T[/math] na impuls jednostkowy w punkcie [math]k[/math]:

[math] h_k[n] = T\{\delta[n-k]\} [/math]

Każdy dyskretny sygnał [math]x[/math] możemy przedstawić jako ważoną sumę sekwencji jednostkowych:

[math] x[n] = \sum_k x[k] \delta[n-k] [/math]

Gdzie [math]x[k][/math], czyli wartość sygnału [math]x[/math] w punkcie [math]k[/math], przyjmuje rolę liczby mnożącej funkcje [math]\delta[n-k][/math]. Jeśli [math]T[/math] jest systemem liniowym, to

[math] y[n] = T\left\{ \sum_k x[k]\delta[n-k] \right\} =\sum_k x[k] T\left\{\delta[n-k]\right\} = \sum_k x[k] h_k[n] [/math]

([math]x[k][/math] traktujemy jak liczbę).

Jeśli system jest niezmienniczy w czasie, to odpowiedź na sekwencję jednostkową [math]T\{\delta[n-k]\} = h_k[n][/math] będzie niezależna od [math]k[/math]: [math]T\{\delta[n-k]\} = h[n-k][/math].

Wtedy

[math] y[n]=\sum_k x[k] h[n-k] = x[n] \star h[n] = h[n] \star x[n] = \sum_k h[k] x[n-k] [/math]

gdzie [math]\star[/math] oznacza splot

Otrzymaliśmy w ten sposób pierwszy ważny wynik:

Znając odpowiedź systemu liniowego niezmienniczego w czasie na sekwencję jednostkową, możemy obliczyć jego odpowiedź na dowolny sygnał. Tak więc funkcja odpowiedzi impulsowej systemu LTI stanowi jego kompletny opis.

Splot i przyczynowość

Powyższe sumy przebiegają po całym zakresie [math]k[/math]

[math] y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k] [/math]

Dla systemu przyczynowego, y[n] może zależeć wyłącznie od bieżącej i poprzednich wartości wejścia x[n], nie od przyszłych. Rozpisując explicite dostajemy

[math] y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{-1} h[k] x[n-k] + \sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k] [/math]

Dla zapewnienia przyczynowości kładziemy h[n] = 0 dla n<0, i zostaje tylko drugi człon

[math] y[n]= \sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k] [/math]

Własności systemów LTI

Następnym krokiem w badaniu własności matematycznych przekształceń bywa poszukiwanie punktów stałych, czyli niezmienników. Rozważmy przekształcenie LTI wykładniczej funkcji zespolonej [math]e^{i\omega n}[/math]; z (1)

[math] T\left\{e^{i\omega n}\right\} = \sum_k h[k]\, e^{i\omega (n-k)} = e^{i\omega n} \sum_k h[k]\, e^{-i\omega k} [/math]

Przed znak sumy wyciągneliśmy podlegającą transformacji zespoloną funkcję wykładniczą [math]e^{i\omega n}[/math]. Wartość sumy [math]\sum_k h[k]\,e^{-i\omega k}[/math] zależy od funkcji odpowiedzi impulsowej systemu [math]h[k][/math] i częstości [math]\omega[/math]. Tak więc odpowiedź systemu LTI na funkcję [math]e^{i\omega n}[/math] polega na wymnożeniu tej funkcji przez liczbę, czyli inaczej mówiąc funkcje zespolone od argmentu urojonego są wektorami własnymi przekstałceń LTI, a odpowiadające im wartości własne to [math]\sum_k h[k]\,e^{-i\omega k}[/math].

Gdybyśmy potrafili dowolną funkcję rozłożyć na sumę zespolonych funkcji wykładniczych, np. w postaci [math] s[n] = \sum_k a_k e^{i k n}, [/math] działanie systemów LTI ograniczałoby się do łatwo obliczalnych modyfikacji współczynników [math]a_k[/math]. Jak pokazaliśmy wcześniej, rozkłady takie realizują szereg i transformata Fouriera.