Szereg Fouriera
AS/ Szereg Fouriera
Sygnał okresowy (o okresie [math]T[/math]) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:
gdzie
Dowód powyższego wzoru na współczynniki rozwinięcia Fouriera:
Mnożymy obie strony równania 1 przez
[math]e^\frac{2\pi i k t}{T}[/math]
i całkujemy po [math]dt[/math] od [math]0[/math] do [math]T[/math]:
[math]
\int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt =
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt
[/math]
Całki po prawej stronie znikają dla [math]k \ne n[/math]. Jedyny niezerowy
wyraz dla [math]k = n[/math] wynosi [math]\int_0^T c_n dt[/math], czyli [math]c_n T[/math] (bo [math]e^0=1[/math]).
Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami — przypomnijmy [math]e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)[/math]. Wagi [math]c_n[/math] możemy traktować jako względny udział odpowiadających im częstości.
Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera
[math] \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2 [/math]
Dowód:
[math] \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t =[/math]
[math] \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = [/math]
[math]\frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right) \left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =[/math]
[math]
\left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\; =[/math]
[math]\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2
[/math]
Energia, moc, widmo
Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności w czasie od [math]0[/math] do [math]T[/math], to wytracona przez niego energia wyniesie [math]\int_0^T s(t)^2 d t[/math]. W ogólności, biorąc pod uwagę sygnały o wartościach zespolonych, całkowitą energię sygnału definiujemy jako [math]\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t[/math]. Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli [math]\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t[/math]. Jak widać z powyższego twierdzenia, dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako sumę kwadratów współczynników szeregu Fouriera [math]\sum c_n^2[/math]. Pozwala to interpretować [math]c_n^2[/math] jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość. Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rysunek 1).
Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; z sygnału nie-okresowego [math]s(t)[/math], określonego na skończonym przedziale [math][0, T][/math], możemy utworzyć sygnał okresowy [math]s_T(t)[/math]:
tożsamy z [math]s(t)[/math] w przedziale [math][0, T][/math], który można już przedstawić w postaci sumy 1.
| rf |
| Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji [math]\Theta(t)[/math] (Figure 1), określonej na przedziale [math][0,1][/math] w następujący sposób:
[math]
\Theta(t) = \left\{
\begin{matrix}
1 &, & t \in [0, \frac{1}{2})\\
0 &, & t \in [ \frac{1}{2}, 1]
\end{matrix}
\right.
[/math]
Bezpośrednio z wzoru 2 dostajemy (dla [math]T = 1[/math]) [math]\begin{matrix}
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t
= \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t = ( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) =
\left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}} \\
= \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) =
\left\{
\begin{matrix}
0 & \mathrm{dla}\; n = \pm2, \pm4, \ldots\\
i/\pi n & \mathrm{dla}\; n = \pm1, \pm3, \ldots
\end{matrix}
\right .\\
(\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2}
\end{matrix}[/math]
Tak więc z wzoru 1 [math]\begin{matrix} \Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{-i 2 \pi t n} = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\ = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t) \end{matrix}[/math]
W sumie kosinusów wyrazy dla [math]n\gt 0[/math] znoszą odpowiednie wyrazy dla [math]-n[/math] (bo [math]cos(-x)=cos(x)[/math]), w sumie sinusów wyrazy dla [math]\pm n[/math] dodają się (bo [math]sin(-x)=-sin(x)[/math]), dając w efekcie [math]
\Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)}
[/math]
 Od góry, kolejno: funkcja [math]\Theta[/math] (równanie %i 4), "uzupełniona" do funkcji okresowej według wzoru %i 3, pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera, kwadraty współczynników szeregu Fouriera — dyskretne widmo, pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia (5). Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji [math]\theta(t)[/math] w punktach [math]\left\{\pm \frac{k}{2}, k \in N \right\}[/math]; niejednorodna zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę efektu Gibbsa. |
