Przekształcenie Fouriera
Spis treści
AS/ Przekształcenie Fouriera
A jeśli sygnał nie jest ściśle okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości [math]\forall t \, s(t + T) = s(t)[/math]?
Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: [math]T\rightarrow\infty[/math]. Wtedy odstęp [math]\left(\frac{2\pi}{T}\right)[/math] między częstościami kolejnych elementów sumy z wyprowadzonego w poprzednim rozdziale wzoru na szereg Fouriera
[math]
\displaystyle s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n},
[/math]
dąży do [math]0[/math] i suma przechodzi w całkę
[math]
\mathbf{(IFT)} \qquad \displaystyle s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f
[/math]
funkcja [math]\hat{s}(f)[/math], zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera
[math]\displaystyle
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t
[/math]
to transformata Fouriera sygnału [math]s(t)[/math], czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera [math]\mathcal{F}[/math].
Transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości — jak widać ze wzoru (IFT), jest to operacja odwracalna.
Moduł transformaty Fouriera dla danej częstości [math]f[/math] opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał.
Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera
[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}( f ) |^2 d f [/math]
Dowód:
[math]\displaystyle
\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \overline{s(t)} dt =
\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} e^{i 2\pi t f} d f \right) dt =
[/math]
[math]\displaystyle
= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi t f} d t \right) df =
\int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \hat{s}(f) d f = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}(f) |^2 d f
[/math]
Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego:
- Niech [math]g:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}[/math] — funkcja ciągła. Wówczas
- [math]\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d g(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b g(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} g(x,y)\,d(x,y)[/math].
Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera
Szczególna postać wzorów (FT) i (IFT) wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu: [math]f = \frac{1}{T}[/math] (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku — we wzorze na transformatę odwrotną (IFT) lub we wzorze (FT). Z kolei przyjęcie częstości kołowej [math]\omega = \frac{2\pi}{T}[/math] (w radianach) przenosi czynnik [math]2\pi[/math] (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę. Stąd różnorodność możliwych par wzorów:
[math]
s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f \rightarrow
\hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t
[/math]
[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i 2\pi f t} d t [/math]
[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]
[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]
[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]
[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]
Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację (FT) i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną (IFT); ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu [math]\omega[/math] jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.
Symetrie i własności Transformaty Fouriera
jeśli sygnał [math]s(t)[/math] jest[math]\ldots[/math] | to [math]\mathcal{F} s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots[/math] |
---|---|
parzysty ([math]s(t)=s(-t)[/math]) | parzysta |
nieparzysty ([math]s(t)=-s(-t)[/math]) | nieparzysta |
rzeczywisty | [math] \hat{s}(-\omega) = \overline{\hat{s}(\omega})[/math] |
urojony | [math]\hat{s}(-\omega) = -\overline{\hat{s}(\omega})[/math] |
rzeczywisty i parzysty | rzeczywista i parzysta |
rzeczywisty i nieparzysty | urojona i nieparzysta |
urojony i parzysty | urojona i parzysta |
urojony i nieparzysty | rzeczywista i nieparzysta |
skalowanie w czasie: | [math]s(a t)[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})[/math] |
skalowanie w częstości: | [math]\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\hat{s}(a f)[/math] |
przesunięcie w czasie: | [math]s(t - t_0)[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}[/math] |
przesunięcie w częstości: | [math]s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\hat{s}(f - f_0)[/math] |
Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z równań (FT) i (IFT).
Rozdzielczość (F)FT
Transformata Fouriera jest przedstawieniem sygnału z bazie złożonej z funkcji [math]e^{i\omega t}[/math]. Wymiar tej bazy powinien odpowiaadać wymiarowi sygnału. Ponieważ dla każdej częstości zespolona transformata odtwarza amplitudę i fazę, to w widmie mocy będzie dwukrotnie mniej punktów niż w sygnale, dla którego liczono transformatę. Punkty w których liczymy transformatę Fouriera rozkłądają się równomiernie od zera do częstości Nyquista, czyli połowy częstości próbkowania.
Jako przykład spróbujmy rozszyfrować, skąd w przykładowym artykule o interfejsach mózg-komputer[1] pojawiają się dziwne częstości 6,83 i 7,03 Hz.
Mamy tam do czynienia z 3-sekundowymi odcinkami sygnału próbkowanego z częstością 200Hz. Aby umożliwić stosowanie szybkiej transformaty Fouriera (FFT) oraz zwiększyć rozdzielczość, sygnał jest dopełniany (zerami) do 1024 punktów. Tak więc 512 punktów (1024/2) będzie w tym przypadku rozłożonych między 0 a 100 Hz, co daje odstęp 100/512, czyli ok. 0.195 Hz między kolejnymi częstościami. Punkty najbliższe 7Hz to 35*100/512 = 6,83 i 36*100/512 = 7,03 Hz.
- ↑ Xiaorong Gao, Dingfeng Xu, Ming Cheng and Shangkai Gao, "A BCI-based environmental controller for the motion-disabled" IEEE Transactions on Neural Systems and Rehabilitation Engineering, vol. 11, no. 2, pp. 137-140, June 2003, doi: 10.1109/TNSRE.2003.814449, https://web.archive.org/web/20091114205637id_/http://www.cis.gsu.edu/brainlab/papers/gao%202003%20-%2048N%20BCI.pdf