WnioskowanieStatystyczne/Test serii: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 5 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 11: Linia 11:
 
         \overline{0}</math>.
 
         \overline{0}</math>.
 
</center>
 
</center>
Nie jest to oczywiście jedyna kombinacja kolejności pięciu zer i jedynek,
+
Nie jest to oczywiście jedyna kombinacja kolejności pięciu zer i pięciu jedynek,
 
dająca w wyniku sześć serii. Ponieważ każda pojedyncza kombinacja jest jednakowo
 
dająca w wyniku sześć serii. Ponieważ każda pojedyncza kombinacja jest jednakowo
 
prawdopodobna (jeśli jest wynikiem niezależnych losowań), to prawdopodobieństwo
 
prawdopodobna (jeśli jest wynikiem niezależnych losowań), to prawdopodobieństwo
Linia 22: Linia 22:
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
<source lang=python>
+
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
 +
| <strong>kod </strong>
 +
|-
 +
| <pre>
 
import matplotlib.pyplot as plt
 
import matplotlib.pyplot as plt
 
import numpy
 
import numpy
Linia 48: Linia 51:
 
plt.title("$n_1 = 30, n_2 = 25$")
 
plt.title("$n_1 = 30, n_2 = 25$")
 
plt.show()
 
plt.show()
</source>
+
</pre>
 +
|}
  
  
Linia 96: Linia 100:
 
zera &mdash; lub odwrotnie). Czyli wszystkich możliwych ciągów
 
zera &mdash; lub odwrotnie). Czyli wszystkich możliwych ciągów
 
<math>n_1</math> zer i <math>n_2</math> jedynek będzie tyle, na ile
 
<math>n_1</math> zer i <math>n_2</math> jedynek będzie tyle, na ile
sposobów można wylosować <math>n_1</math> elenentów spośród
+
sposobów można wylosować <math>n_1</math> elementów spośród
 
<math>N</math>.  Policzmy: pozycję (czyli numer, wypisany w dolnym
 
<math>N</math>.  Policzmy: pozycję (czyli numer, wypisany w dolnym
 
rzędzie powyższej tabeli) pierwszego elementu losujemy spośród
 
rzędzie powyższej tabeli) pierwszego elementu losujemy spośród
Linia 129: Linia 133:
 
wyników, w którym będzie dokładnie <math>k</math> serii?
 
wyników, w którym będzie dokładnie <math>k</math> serii?
  
#'''Jeśli liczba serii <math>k</math> jest parzysta''', to będziemy mieć tyle samo serii jedynek i zer (po <math>k/2</math>). Aby rozmieścić <math>n_1</math> jedynek w <math>k/2</math> seriach musimy wyznaczyć <math>k/2-1</math> punktów podziału na serie; w powyższym przykładzie będą to (kropki) '''1.1.111.''' &mdash; było 6 serii, więc mamy 2 punkty podziału. Inaczej losujemy spośród <math>n_1-1</math> możliwych punktów podziału <math>k/2-1</math> podziałów, jak wynika z liczby serii <math>k</math>. Daje to <math>\binom{n_1-1}{k/2-1}</math> możliwości. W miejsca podziału (oznaczone kropkami) wstawiamy serie zer; analogicznie możemy to zrobić na <math>\binom{n_2-1}{k/2-1}</math> możliwości (w przykładzie: '''00.00.0'''). Liczbę tę należy pomnożyć przez dwa ze względu na możliwość zamiany miejscami zer i jedynek. Prawdopodobieństwo danej liczby serii dostaniemy &mdash; zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa &mdash; dzieląc liczbę wszystkich tych kombinacji <math>n_1</math> jedynek i <math>n_2</math> zer, które generują dokładnie <math>k</math> serii, przez liczbę wszystkich możliwych kombinacji: <math> P=\frac{ 2\binom{n_1-1}{k/2-1} \binom{n_2-1}{k/2-1}} { \binom{N}{n_1}} \qquad\textrm{dla }\ k\ \textrm{parzystych.} </math>
+
 
 +
<center>
 +
<math>\underline{1}\overline{00}\underline{1}\overline{00}\underline{111}
 +
        \overline{0}</math>.
 +
</center>
 +
 
 +
 
 +
#'''Jeśli liczba serii <math>k</math> jest parzysta''', to będziemy mieć tyle samo serii jedynek i zer (po <math>k/2</math>). Aby rozmieścić <math>n_1</math> jedynek w <math>k/2</math> seriach musimy wyznaczyć <math>k/2-1</math> punktów podziału na serie; w powyższym przykładzie będą to (kropki) '''1.1.111''' &mdash; było 6 serii, więc mamy 2 punkty podziału. Inaczej losujemy spośród <math>n_1-1</math> możliwych punktów podziału <math>k/2-1</math> podziałów, jak wynika z liczby serii <math>k</math>. Daje to <math>\binom{n_1-1}{k/2-1}</math> możliwości. W miejsca podziału (oznaczone kropkami) wstawiamy serie zer; analogicznie możemy to zrobić na <math>\binom{n_2-1}{k/2-1}</math> możliwości (w przykładzie: '''00.00.0'''). Liczbę tę należy pomnożyć przez dwa ze względu na możliwość zamiany miejscami zer i jedynek. Prawdopodobieństwo danej liczby serii dostaniemy &mdash; zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa &mdash; dzieląc liczbę wszystkich tych kombinacji <math>n_1</math> jedynek i <math>n_2</math> zer, które generują dokładnie <math>k</math> serii, przez liczbę wszystkich możliwych kombinacji: <math> P=\frac{ 2\binom{n_1-1}{k/2-1} \binom{n_2-1}{k/2-1}} { \binom{N}{n_1}} \qquad\textrm{dla }\ k\ \textrm{parzystych.} </math>
 
#'''Jeśli liczba serii <math>k</math> jest nieparzysta,''' to którychś serii &mdash; zer lub jedynek &mdash; będzie dokładnie o jeden więcej. <equation id="eq:127"></equation>
 
#'''Jeśli liczba serii <math>k</math> jest nieparzysta,''' to którychś serii &mdash; zer lub jedynek &mdash; będzie dokładnie o jeden więcej. <equation id="eq:127"></equation>
 +
 +
 +
<center>
 +
<math>\underline{1}\overline{00}\underline{1}\overline{000}\underline{111}
 +
        </math>.
 +
</center>
 +
 +
 
##'''jeśli więcej jest serii jedynek''', mamy <math>(k-1)/2</math> serii zer i <math>(k-1)/2+1</math> serii jedynek. <math>n_1</math> jedynek dzielimy na <math>(k-1)/2+1</math> serii, czyli wyznaczamy <math>(k-1)/2</math> punktów podziału spośród <math>n_1-1</math> możliwych &mdash; daje to <math>\binom{n_1-1}{(k-1)/2}</math> możliwości. Z kolei <math>n_2</math> zer dzielimy na <math>(k-1)/2</math> serii, co daje <math>\binom{n_2-1}{(k-1)/2-1}</math> możliwości. Iloczyn tych dwóch wielkości określa liczbę możliwości dających <math>k</math> serii, jeśli więcej jest serii jedynek: <equation id="eq:128"><math> \binom{n_1-1}{(k-1)/2} \binom{n_2-1}{(k-1)/2-1} </math></equation>
 
##'''jeśli więcej jest serii jedynek''', mamy <math>(k-1)/2</math> serii zer i <math>(k-1)/2+1</math> serii jedynek. <math>n_1</math> jedynek dzielimy na <math>(k-1)/2+1</math> serii, czyli wyznaczamy <math>(k-1)/2</math> punktów podziału spośród <math>n_1-1</math> możliwych &mdash; daje to <math>\binom{n_1-1}{(k-1)/2}</math> możliwości. Z kolei <math>n_2</math> zer dzielimy na <math>(k-1)/2</math> serii, co daje <math>\binom{n_2-1}{(k-1)/2-1}</math> możliwości. Iloczyn tych dwóch wielkości określa liczbę możliwości dających <math>k</math> serii, jeśli więcej jest serii jedynek: <equation id="eq:128"><math> \binom{n_1-1}{(k-1)/2} \binom{n_2-1}{(k-1)/2-1} </math></equation>
 
##'''jeśli więcej jest serii zer''', to na drodze analogicznego rozumowania dostajemy <equation id="eq:129"><math> \binom{n_1-1}{(k-1)/2-1} \binom{n_2-1}{(k-1)/2}. </math></equation>
 
##'''jeśli więcej jest serii zer''', to na drodze analogicznego rozumowania dostajemy <equation id="eq:129"><math> \binom{n_1-1}{(k-1)/2-1} \binom{n_2-1}{(k-1)/2}. </math></equation>
  
Prawdopodobieństwo dla przypadku nieparzystej liczby serii będzie sumą tych
+
Prawdopodobieństwo dla przypadku nieparzystej liczby serii będzie sumą tych dwóch wielkości, podzieloną, jak w przypadku parzystego <math>k</math>, przez liczbę wszystkich możliwości:
dwóch wielkości podzieloną, jak w przypadku parzystego <math>k</math>,  
 
przez liczbę wszystkich możliwości:
 
 
<equation id="eq:130">
 
<equation id="eq:130">
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
Linia 179: Linia 196:
 
}
 
}
 
{{ \binom{N}{(k-1)/2}}}
 
{{ \binom{N}{(k-1)/2}}}
\ \quad\qquad\qquad\textrm{dla }\ k\ \textrm{ nieparzystych \ i \ }   
+
\ \quad\qquad\qquad\textrm{dla }\ k\ \textrm{ nieparzystych i }   
 
n_\textrm{min}=\frac{k-1}{2},  
 
n_\textrm{min}=\frac{k-1}{2},  
 
\end{cases}
 
\end{cases}
Linia 206: Linia 223:
  
 
[[Plik:serie.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Rozkład prawdopodobieństw <math>P(k)</math> liczby serii <math>k</math> w niezależnym losowaniu 30 zer i 25 jedynek.]]
 
[[Plik:serie.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Rozkład prawdopodobieństw <math>P(k)</math> liczby serii <math>k</math> w niezależnym losowaniu 30 zer i 25 jedynek.]]
 
<!--
 
[[Załączony program]] oblicza według wzoru <xr id="eq:131">(%i)</xr>
 
rozkład prawdpodobieństwa oraz poziom istotności dla hipotezy
 
mówiącej, że wpisany ciąg jest wynikiem niezależnych losowań. Pozwala
 
on na "zabawę w oszukiwanie": możemy próbować wpisać taki ciąg dwóch
 
symboli, który przejdzie test na niezależność losowań. Okazuje się, że
 
najczęściej wpisujemy ciągi, w których występuje za dużo serii, czyli
 
wpisujemy za krótkie serie jednakowych elementów.
 
-->
 
  
 
Zastosowania testów opartych na tej statystyce nie ograniczają się do
 
Zastosowania testów opartych na tej statystyce nie ograniczają się do
Linia 252: Linia 259:
 
pierwszej próby przypisujemy jedynki, a drugiej &mdash; zera.
 
pierwszej próby przypisujemy jedynki, a drugiej &mdash; zera.
  
Jeśli obie próby losowano z tej samej populacji, to ilość serii w tak określonym
+
Jeśli obie próby losowano z tej samej populacji, to liczba serii w tak określonym
 
ciągu podlega statystyce <xr
 
ciągu podlega statystyce <xr
 
id="eq:131">(%i)</xr>, czyli ponownie możemy
 
id="eq:131">(%i)</xr>, czyli ponownie możemy

Aktualna wersja na dzień 20:11, 11 kwi 2024

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład


Test serii Walda-Wolfowitza

Serią nazywamy ciąg jednakowych elementów. W poniższym przykładzie mamy sześć serii (po trzy serie zer i jedynek):

[math]\underline{1}\overline{00}\underline{1}\overline{00}\underline{111} \overline{0}[/math].

Nie jest to oczywiście jedyna kombinacja kolejności pięciu zer i pięciu jedynek, dająca w wyniku sześć serii. Ponieważ każda pojedyncza kombinacja jest jednakowo prawdopodobna (jeśli jest wynikiem niezależnych losowań), to prawdopodobieństwo uzyskania danej liczby serii będzie tym większe, im więcej różnych kombinacji będzie dawać w wyniku tę liczbę serii. Sformułujmy więc problem ogólnie:

Mamy [math]N=n_1+n_2[/math] elementów, w tym [math]n_1[/math] zer i [math]n_2[/math] jedynek. Na ile sposobów możemy je rozłożyć, aby uzyskać [math]k[/math] serii?


Histogram liczby serii [math]k[/math] w [math]10^5[/math] niezależnych losowaniach 30 zer i 25 jedynek.
Histogram liczby serii [math]k[/math] w [math]10^9[/math] niezależnych losowaniach 30 zer i 25 jedynek.
Histogram liczby serii [math]k[/math] w [math]10^9[/math] niezależnych losowaniach 30 zer i 25 jedynek (skala logarytmiczna).



Wróćmy do prostszego przykładu, zawierającego pięć jedynek i pięć zer. Podział na serie możemy interpretować jak przypisanie liczbom od jeden do dziesięciu (pozycje w ciągu) zera lub jedynki:

1 0 0 1 0 0 1 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Inaczej mówiąc, konkretny ciąg [math]N[/math] zer i jedynek wyznaczony jest przez wylosowanie spośród liczb od jednego do [math]N[/math] tych liczb, którym mają być przypisane jedynki (pozostałym będą przypisane zera — lub odwrotnie). Czyli wszystkich możliwych ciągów [math]n_1[/math] zer i [math]n_2[/math] jedynek będzie tyle, na ile sposobów można wylosować [math]n_1[/math] elementów spośród [math]N[/math]. Policzmy: pozycję (czyli numer, wypisany w dolnym rzędzie powyższej tabeli) pierwszego elementu losujemy spośród [math]N[/math] możliwości, drugiego — spośród [math]N-1[/math] pozostałych możliwości (jedna pozycja jest już zajęta), i tak dalej, aż pozycję ostatniego z [math]n_1[/math] elementów losujemy spośród [math]N-n_1[/math] pozostałych możliwości. Liczba możliwych wyników będzie iloczynem tych wszystkich liczb, czyli wyniesie [math]N\cdot(N-1)\cdot(N-2)\cdot\ \dots\ \cdot (N-n_1) = N!/(N-n_1)![/math] Skoro wszystkie jedynki są jednakowe i nie rozróżniamy wyników różniących się ich kolejnością, to wynik ten musimy podzielić przez liczbę różnych ustawień kolejności elementów (liczbę permutacji) zbioru [math]n_1[/math]-elementowego. Wyniesie ona [math]n_1\cdot(n_1-1)\cdot\ \dots\ \cdot 1[/math], czyli [math]n_1![/math] Ostatecznie jako liczbę różnych ustawień [math]n_1[/math] zer i [math]N-n_1[/math] jedynek dostajemy:

[math] \frac{N!}{(N-n_1)!\ n_1!} = \binom{N}{n_1}. [/math]

Jest to znany z rozdziału o rozkładzie dwumianowym symbol Newtona [math]\binom{N}{n_1}[/math]. Jego własności symetrii zgadzają się z sytuacją, w ktorej "wybierać" możemy albo [math]n_1[/math] zer albo [math]n_2[/math] jedynek:

[math] \binom{N}{n_1}=\binom{n_1+n_2}{n_1}=\frac{(n_1+n_2)!}{n_1! n_2!}=\binom{n_1+n_2}{n_2}=\binom{N}{n_2}. [/math]

Pozostaje policzyć, ile z tych możliwości (przy ustalonych liczbach [math]n_1[/math] jedynek i [math]n_2[/math] zer) wygeneruje ciąg wyników, w którym będzie dokładnie [math]k[/math] serii?


[math]\underline{1}\overline{00}\underline{1}\overline{00}\underline{111} \overline{0}[/math].


  1. Jeśli liczba serii [math]k[/math] jest parzysta, to będziemy mieć tyle samo serii jedynek i zer (po [math]k/2[/math]). Aby rozmieścić [math]n_1[/math] jedynek w [math]k/2[/math] seriach musimy wyznaczyć [math]k/2-1[/math] punktów podziału na serie; w powyższym przykładzie będą to (kropki) 1.1.111 — było 6 serii, więc mamy 2 punkty podziału. Inaczej losujemy spośród [math]n_1-1[/math] możliwych punktów podziału [math]k/2-1[/math] podziałów, jak wynika z liczby serii [math]k[/math]. Daje to [math]\binom{n_1-1}{k/2-1}[/math] możliwości. W miejsca podziału (oznaczone kropkami) wstawiamy serie zer; analogicznie możemy to zrobić na [math]\binom{n_2-1}{k/2-1}[/math] możliwości (w przykładzie: 00.00.0). Liczbę tę należy pomnożyć przez dwa ze względu na możliwość zamiany miejscami zer i jedynek. Prawdopodobieństwo danej liczby serii dostaniemy — zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa — dzieląc liczbę wszystkich tych kombinacji [math]n_1[/math] jedynek i [math]n_2[/math] zer, które generują dokładnie [math]k[/math] serii, przez liczbę wszystkich możliwych kombinacji: [math] P=\frac{ 2\binom{n_1-1}{k/2-1} \binom{n_2-1}{k/2-1}} { \binom{N}{n_1}} \qquad\textrm{dla }\ k\ \textrm{parzystych.} [/math]
  2. Jeśli liczba serii [math]k[/math] jest nieparzysta, to którychś serii — zer lub jedynek — będzie dokładnie o jeden więcej.


[math]\underline{1}\overline{00}\underline{1}\overline{000}\underline{111} [/math].


    1. jeśli więcej jest serii jedynek, mamy [math](k-1)/2[/math] serii zer i [math](k-1)/2+1[/math] serii jedynek. [math]n_1[/math] jedynek dzielimy na [math](k-1)/2+1[/math] serii, czyli wyznaczamy [math](k-1)/2[/math] punktów podziału spośród [math]n_1-1[/math] możliwych — daje to [math]\binom{n_1-1}{(k-1)/2}[/math] możliwości. Z kolei [math]n_2[/math] zer dzielimy na [math](k-1)/2[/math] serii, co daje [math]\binom{n_2-1}{(k-1)/2-1}[/math] możliwości. Iloczyn tych dwóch wielkości określa liczbę możliwości dających [math]k[/math] serii, jeśli więcej jest serii jedynek:
      [math] \binom{n_1-1}{(k-1)/2} \binom{n_2-1}{(k-1)/2-1} [/math]
    2. jeśli więcej jest serii zer, to na drodze analogicznego rozumowania dostajemy
      [math] \binom{n_1-1}{(k-1)/2-1} \binom{n_2-1}{(k-1)/2}. [/math]

Prawdopodobieństwo dla przypadku nieparzystej liczby serii będzie sumą tych dwóch wielkości, podzieloną, jak w przypadku parzystego [math]k[/math], przez liczbę wszystkich możliwości:

[math]\begin{matrix} P&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\frac{ \binom{n_1-1}{(k-1)/2} \binom{n_2-1}{(k-1)/2-1} + \binom{n_1-1}{(k-1)/2-1} \binom{n_2-1}{(k-1)/2} } {{ \binom{N}{n_1}}} \\ &&\textrm{dla }\ k\ \textrm{ nieparzystych.} \end{matrix}[/math]

Pozostaje jeszcze rozważyć sytuację, w której liczba serii jest nieparzysta, jak w punkcie 2., ale mniej liczne elementy rozłożone są wyłącznie w serie jednoelementowe, na przykład 001010010100, czyli liczba serii wynosi [math]2n+1[/math], gdzie [math]n[/math] jest liczbą mniej licznych elementów (w tym przykładzie jedynek). Wtedy znika jeden ze składników sumy z licznika powyższego równania, gdyż zachodzić może wyłącznie przypadek 2.1 lub 2.2.

Ostatecznie dostajemy następujący wzór na prawdopodobieństwo wystąpienia [math]k[/math] serii w próbie, w której drogą niezależnych losowań wylosowano [math]n_1[/math] zer i [math]n_2[/math] jedynek:

[math] P(k\mid n_1, n_2)=\begin{cases} \frac{ 2\binom{n_1-1}{k/2-1} \binom{n_2-1}{k/2-1}} { \binom{N}{n_1}} \quad \textrm{dla }\ k\ \textrm{ parzystych} \\ \frac{ \binom{n_1-1}{(k-1)/2} \binom{n_2-1}{(k-1)/2-1} + \binom{n_1-1}{(k-1)/2-1} \binom{n_2-1}{(k-1)/2} } {{ \binom{N}{n_1}}} \\ \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textrm{dla }\ k\ \textrm{ nieparzystych} \\ \frac{ \binom{n_\textrm{max}-1}{(k-1)/2} } {{ \binom{N}{(k-1)/2}}} \ \quad\qquad\qquad\textrm{dla }\ k\ \textrm{ nieparzystych i } n_\textrm{min}=\frac{k-1}{2}, \end{cases} [/math]

gdzie [math]n_\textrm{min}=\min(n_1, n_2)[/math] i [math]n_\textrm{max}=\max(n_1, n_2)[/math].

Wzór ten określa rozkład statystyki, będącej liczbą serii w próbie złożonej z dowolnych dwóch rodzajów elementów (oznaczanych powyżej jako 0 i 1). Dzięki niemu możemy wreszcie skonstruować kompletny test hipotezy mówiącej, że dany ciąg jest wynikiem niezależnych losowań. Przypomnijmy dane z przykładu o nieuczciwym ankieterze:

1101101000101001011101101111010110010101001010100011101

W ciągu tym występuje 25 zer i 30 jedynek, układających się w 37 serii. Na podstawie wzoru (5) możemy obliczyć rozkład prawdopodobieństwa wylosowania ciągu 25 zer i 30 jedynek, w którym będzie [math]k[/math] serii. Możliwe wartości [math]k[/math] będą w tym przypadku zawierać się między 2 (jedna seria zer i jedna jedynek) a 51 (ponieważ mniej jest zer, największa liczba serii odpowiada przypadkowi, w którym wszystkie zera układają się w serie jednoelementowe). Rozkład prawdopodobieństwa dla tego przypadku przedstawia rysunek %i 4.

Rozkład prawdopodobieństw [math]P(k)[/math] liczby serii [math]k[/math] w niezależnym losowaniu 30 zer i 25 jedynek.

Zastosowania testów opartych na tej statystyce nie ograniczają się do analizy ciągów zer i jedynek (lub innych dwóch elementów). Poniżej przedstawiamy jeszcze dwa testy korzystające ze statystyki (5).

Testowanie, czy próba jest wynikiem niezależnych losowań

Podobny problem — pytanie, czy elementy próby są wynikiem niezależnych losowań — występuje np. przy testowaniu generatorów liczb losowych (będących kluczowym elementem metod opisywanych w pierwszej części książki). Jednak w tej sytuacji mamy do czynienia z ciągiem dowolnych liczb, a nie dwóch symboli.

Pomysł jest prosty: ciąg wyników wyrażających się dowolnymi liczbami możemy zamienić na ciąg zer i jedynek, wybierając próg [math]M[/math] i przypisując wynikom większym od [math]M[/math] jedynkę, a mniejszym — zero. Jeśli chcemy mieć tyle samo zer i jedynek, jako [math]M[/math] możemy wziąć medianę próby. Do takiej serii możemy już z powodzeniem stosować opisany w poprzednim rozdziale test oparty na statystyce (5) — oczywiście zachowując kolejność elementów w próbie.

Test zgodności rozkładów w dwóch populacjach

Mamy dwie próby. Hipoteza zerowa mówi, że zostały wylosowane z tego samego rozkładu. Ciąg zer i jedynek tworzymy w następujący sposób:

Elementy obu prób ustawiamy w jeden ciąg w kolejności od najmniejszej do największej[1]. Elementom pierwszej próby przypisujemy jedynki, a drugiej — zera.

Jeśli obie próby losowano z tej samej populacji, to liczba serii w tak określonym ciągu podlega statystyce (5), czyli ponownie możemy stosować test Walda-Wolfowitza.



<references>

  1. Jeśli wartości losowane są z rozkładów ciągłych, to wystąpienie jednakowych wartości jest teoretycznie niemożliwe. W praktyce wartości zapisujemy ze skończoną dokładnością; zwykle przyjmuje się, że jednakowe wartości można pominąć.