Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI): Różnice pomiędzy wersjami
(Nie pokazano 3 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) | |||
Linia 14: | Linia 14: | ||
Droga do matematycznego opisu rzeczywistości prowadzi przez modele | Droga do matematycznego opisu rzeczywistości prowadzi przez modele | ||
− | oparte na pewnych upraszczających je założeniach. Często właśnie wybór | + | oparte na pewnych upraszczających je założeniach. |
+ | <!-- Często właśnie wybór | ||
właściwych założeń (czyli uproszczeń) decyduje o sukcesie danego | właściwych założeń (czyli uproszczeń) decyduje o sukcesie danego | ||
podejścia, jak np. w przypadku przestrzeni Banacha w analizie | podejścia, jak np. w przypadku przestrzeni Banacha w analizie | ||
− | matematycznej. W przypadku teorii systemów szczególną rolę spełniają | + | matematycznej. |
+ | --> | ||
+ | W przypadku teorii systemów szczególną rolę spełniają | ||
dwa założenia: liniowości<ref>Liniowość oznacza, że odpowiedź systemu | dwa założenia: liniowości<ref>Liniowość oznacza, że odpowiedź systemu | ||
na sumę dwóch sygnałów będzię sumą odpowiedzi tego systemu na każdy z | na sumę dwóch sygnałów będzię sumą odpowiedzi tego systemu na każdy z | ||
Linia 216: | Linia 219: | ||
<references/> | <references/> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <div align="right"> | ||
+ | [[Estymacja_widma_na_podstawie_FT|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] [[Model_autoregresyjny_(AR)|⮕]] | ||
+ | </div> |
Aktualna wersja na dzień 16:06, 28 lip 2024
Spis treści
AS/ Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI)
System opisać można jako "czarną skrzynkę", generującą sygnał (wyjście) w odpowiedzi na stan wejścia:
- wejście [math]\longrightarrow[/math] SYSTEM [math]\longrightarrow[/math] wyjście (czyli mierzony sygnał)
W takim podejściu system będzie równoważny transformacji (przekształceniu) sygnału. Nie tracimy przy tym na ogólności, gdyż rzadko interesują nas sygnały generowane przez systemy całkowicie izolowane, czyli pozbawione wejścia. W skrajnym przypadku możemy założyć, że wejściem systemu jest szum (jak np. w modelu AR).
Droga do matematycznego opisu rzeczywistości prowadzi przez modele oparte na pewnych upraszczających je założeniach. W przypadku teorii systemów szczególną rolę spełniają dwa założenia: liniowości[1] i niezmienniczości w czasie[2]. Na tych dwóch założeniach opiera się cała klasyczna analiza sygnałów, z której wywodzą się pojęcia widma mocy, teoria filtrów i wiele innych fundamentalnych idei.
Matematycznie system traktować będziemy jako transformację
(operator), przekształcającą sygnał wejściowy
[math]x(t)[/math]
w [math]y(t)[/math]:
[math]x \longrightarrow[/math] [math]T\{\cdot\}[/math] [math]\longrightarrow T\{x\} = y[/math]
Będziemy się zajmować klasą systemów liniowych niezmienniczych w czasie (ang. Linear Time-Invariant, LTI), działających na sygnałach dyskretnych, czyli:
[math]x[n] \longrightarrow T\{\cdot\} \longrightarrow T\{x[n]\} = y[n][/math]
System [math]T[/math] jest liniowy, gdy:
[math]
T\{a x_1+b x_2\} = a T\{x_1\} + b T\{x_2\} = a y_1 + b y_2
[/math],
a niezmienniczy w czasie, gdy
[math]
T\{ x(t) \} = y(t) \Rightarrow T\{ x(t + t_1\} = y(t+t_1)
[/math].
Rozważmy działanie systemu na sekwencję jednostkową
[math]
\delta[n]=\left\{
\begin{matrix}
1 \;\mathrm{dla} \; n=0\\
0 \;\mathrm{dla} \; n\ne 0
\end{matrix}
\right .
[/math]
Niech [math]h_k(n)[/math] - odpowiedź systemu [math]T[/math] na impuls jednostkowy w punkcie [math]k[/math]:
[math]
h_k[n] = T\{\delta[n-k]\}
[/math]
Każdy dyskretny sygnał [math]x[/math] możemy przedstawić jako ważoną sumę sekwencji jednostkowych:
[math]
x[n] = \sum_k x[k] \delta[n-k]
[/math]
Gdzie [math]x[k][/math], czyli wartość sygnału [math]x[/math] w punkcie [math]k[/math], przyjmuje rolę
liczby mnożącej funkcje [math]\delta[n-k][/math]. Jeśli [math]T[/math] jest systemem liniowym, to
[math]
\displaystyle
y[n] = T\left\{ \sum_k x[k]\delta[n-k] \right\} =\sum_k x[k] T\left\{\delta[n-k]\right\} = \sum_k x[k] h_k[n]
[/math]
([math]x[k][/math] traktujemy jak liczbę).
Jeśli system jest niezmienniczy w czasie, to odpowiedź na sekwencję jednostkową
[math]T\{\delta[n-k]\} = h_k[n][/math] będzie niezależna od [math]k[/math]: [math]T\{\delta[n-k]\} = h[n-k][/math].
Wtedy
gdzie [math]\star[/math] oznacza splot[3]
Otrzymaliśmy w ten sposób pierwszy ważny wynik:
Znając odpowiedź systemu liniowego niezmienniczego w czasie na sekwencję jednostkową, możemy obliczyć jego odpowiedź na dowolny sygnał. Tak więc funkcja odpowiedzi impulsowej systemu LTI stanowi jego kompletny opis.
Splot i przyczynowość
Powyższe sumy przebiegają po całym zakresie [math]k[/math]
[math]
\displaystyle
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k]
[/math]
Dla systemu przyczynowego, y[n] może zależeć wyłącznie od bieżącej i poprzednich wartości wejścia x[n], nie od przyszłych. Rozpisując explicite dostajemy
[math]
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k] =
\sum_{k=-\infty}^{-1} h[k] x[n-k] +
\sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k]
[/math]
Dla zapewnienia przyczynowości kładziemy h[k] = 0 dla k<0, i zostaje tylko drugi człon
[math]
\displaystyle
y[n]=
\sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k]
[/math]
Własności systemów LTI
Następnym krokiem w badaniu własności matematycznych przekształceń bywa poszukiwanie punktów stałych, czyli niezmienników. Rozważmy przekształcenie LTI wykładniczej funkcji zespolonej[4] [math]e^{i\omega n}[/math]; z (1)
Przed znak sumy wyciągneliśmy podlegającą transformacji zespoloną
funkcję wykładniczą [math]e^{i\omega n}[/math]. Wartość sumy [math]\sum_k
h[k]\,e^{-i\omega k}[/math] zależy od funkcji odpowiedzi impulsowej systemu
[math]h[k][/math] i częstości [math]\omega[/math][5]. Tak więc odpowiedź systemu LTI na funkcję
[math]e^{i\omega n}[/math] polega na wymnożeniu tej funkcji przez liczbę, czyli
inaczej mówiąc funkcje zespolone od argmentu urojonego są wektorami
własnymi przekstałceń LTI, a odpowiadające im wartości własne to
[math]\sum_k h[k]\,e^{-i\omega k}[/math].
Gdybyśmy potrafili dowolną funkcję rozłożyć na sumę zespolonych funkcji wykładniczych, np. w postaci [math] s[n] = \sum_k a_k e^{i k n}, [/math] działanie systemów LTI ograniczałoby się do łatwo obliczalnych modyfikacji współczynników [math]a_k[/math]. Jak pokazaliśmy wcześniej, rozkłady takie realizują szereg i transformata Fouriera.
- ↑ Liniowość oznacza, że odpowiedź systemu na sumę dwóch sygnałów będzię sumą odpowiedzi tego systemu na każdy z sygnałów podanych osobno, czyli dodanie do wejścia drugiego sygnału nie zakłóci przetwarzania w tym samym czasie pierwszego z nich. Cecha taka jest pożądana np. w przypadku sprzętu audio, gdy nie chcemy, aby smyczki w kwartecie były odtwarzane inaczej niż w partii solowej.
- ↑ Niezmienniczość w czasie np. charakterystyk wzmacniacza zagwarantuje, że ta sama partia skrzypiec odtwarzana jutro będzie brzmiała tak samo jak dzisiaj.
- ↑ Jak widać z równania %i 1, splot sygnałów [math]x[n][/math] i [math]y[n][/math] wyraża się wzorem [math]\sum_k x[k] y[n-k].[/math] Symetryczność splotu sekwencji nieskończonych względem zamiany [math]x[/math] i [math]y[/math] możemy udowodnić prostym podstawieniem [math]\sum_k \rightarrow \sum_j,[/math] gdzie [math]j=n+k[/math]. Wyobrazić sobie splot najłatwiej na przykładzie "długiego" sygnału [math]y[/math] i "krótkiego". [math]x[/math]: każdy punkt ([math]n[/math]) sygnału [math]y[/math] zastępujemy ważoną sumą jego sąsiednich punktów. Wagami są odpowiednie wartości [math]x[/math]. Dla intuicyjnego zrozumienia splotu warto pobawić się dostępnymi w Sieci apletami, które znaleźć można wyszukująć np. hasło "convolution demo" -- np. https://phiresky.github.io/convolution-demo/
- ↑ Przypomnijmy wzór Eulera: [math] \displaystyle e^{ix}=\cos x + i\sin x \quad \Rightarrow \begin{cases}\cos x = \frac12(e^{ix}+e^{-ix})\\ \sin x = \frac12(e^{ix}-e^{-ix}) \end{cases} [/math]
- ↑ Po lekturze rozdziału o szeregu Fouriera sumę tę skojarzymy z transformatą Fouriera odpowiedzi impulsowej